الضرب النقطي (الضرب القياسي) Calculator

Formula first

Overview

هندسيًا، يربط الضرب النقطي بين مقادير متجهين وجيب تمام الزاوية بينهما. جبريًا، هو مجموع حاصل ضرب المدخلات المقابلة للتسلسلين العدديين. وهي عملية أساسية في الفضاءات المتجهية، تشكل الأساس لتحديد التعامد وإسقاطات المتجهات.

Symbols

Variables

a $\cdot$ b = Dot Product, $a_1$ = Vector A component 1, $a_2$ = Vector A component 2, $b_1$ = Vector B component 1, $b_2$ = Vector B component 2

Apply it well

When To Use

When to use: استخدم الضرب النقطي عندما تحتاج إلى تحديد الزاوية بين متجهين، أو التحقق مما إذا كان المتجهان متعامدين (متعامدين)، أو حساب الشغل المبذول بواسطة متجه قوة يعمل على إزاحة.

Why it matters: الضرب النقطي ضروري في الفيزياء لحسابات الطاقة، وفي رسومات الكمبيوتر لخوارزميات الإضاءة والتظليل، وفي التعلم الآلي لقياس التشابه بين نقاط البيانات.

Avoid these traps

Common Mistakes

• الخلط بين الضرب النقطي والضرب الاتجاهي، الذي ينتج متجهًا بدلاً من قياسي.
• نسيان أن نتيجة الضرب النقطي هي قيمة قياسية، وليست متجهًا.

One free problem

Practice Problem

احسب الضرب النقطي للمتجه a = [3, 2] والمتجه b = [1, 4].

Hint: اضرب المكونات المتناظرة (3*1) و (2*4)، ثم اجمع النتائج معًا.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Keep going

Related Formulas

References

Sources

1. Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
2. Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.
3. Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals, 8th Edition.