Mathematicsالجبر الخطيUniversity
AQAAPOntarioNSWCBSEGCE O-LevelMoECAPS

التعامد لغرام-شميدت Calculator

طريقة لتقويم مجموعة من المتجهات في فضاء حاصل الضرب الداخلي.

Use the free calculatorCheck the variablesOpen the advanced solver
Open Advanced Calculator
This is the free calculator preview. Advanced walkthroughs stay in the app.
Result
Ready
Resulting Orthogonal Magnitude

Formula first

Overview

عملية غرام-شميدت هي طريقة منهجية لتوليد أساس متعامد أو متعامد طبيعي من مجموعة من المتجهات المستقلة خطيًا في فضاء حاصل الضرب الداخلي. تعمل عن طريق طرح إسقاطات المتجه بشكل متكرر على المتجهات المتعامدة التي تم إنشاؤها مسبقًا لضمان أن يكون المتجه الجديد عموديًا على جميع المتجهات السابقة.

Symbols

Variables

= Resulting Orthogonal Magnitude, = Input Vector Magnitude, = Sum of Projections

Resulting Orthogonal Magnitude
Variable
Input Vector Magnitude
Variable
Sum of Projections
Variable

Apply it well

When To Use

When to use: طبق هذه الخوارزمية عندما تحتاج إلى بناء أساس متعامد لمساحة جزئية، وهو أمر ضروري لتبسيط إسقاطات المتجهات وإجراء تحليلات QR. تفترض أن مجموعة المتجهات المدخلة مستقلة خطيًا وأن حاصل ضرب داخلي (مثل حاصل الضرب النقطي) معرف.

Why it matters: الأسس المتعامدة فعالة حسابيًا لأنها تزيل تفاعلات المصطلحات المتقاطعة في عمليات المصفوفات. هذه العملية حيوية في رسومات الحاسوب لتحويلات الإحداثيات، وفي معالجة الإشارات لتقليل الضوضاء، وفي التحليل العددي لتحسين استقرار حلول المربعات الصغرى.

Avoid these traps

Common Mistakes

  • استخدام المتجهات الأصلية بدلاً من المتجهات المتعامدة الجديدة للإسقاطات اللاحقة.
  • أخطاء حسابية في حاصل الضرب النقطي المستخدم للإسقاطات القياسية.

One free problem

Practice Problem

في تمرين في الجبر الخطي، يقوم طالب بمعالجة المتجه الثاني في مجموعة. إذا كان للمتجه المدخل vk قيمة مكون تبلغ 12 وكان مجموع إسقاطاته على المتجه المتعامد الأول (projSum) محسوبًا بـ 4.5، فابحث عن المكون المقابل للمتجه المتعامد الناتج.

Hint: اطرح مجموع الإسقاطات من مكون المتجه الأصلي.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

References

Sources

  1. Linear Algebra and Its Applications (5th ed.) by David C. Lay, Steven R. Lay, and Judi J. McDonald
  2. Introduction to Linear Algebra (5th ed.) by Gilbert Strang
  3. Wikipedia: Gram-Schmidt process
  4. Linear Algebra and Its Applications by David C. Lay, 5th ed.
  5. Introduction to Linear Algebra by Gilbert Strang, 5th ed.
  6. Gram-Schmidt process (Wikipedia article title)
  7. Linear Algebra and Its Applications by David C. Lay (5th Edition)
  8. Numerical Linear Algebra by Lloyd N. Trefethen and David Bau III