Mathematicsالجبر الخطيUniversity
OCRAPOntarioNSWCBSEGCE O-LevelMoECAPS

أثر المصفوفة Calculator

مجموع العناصر القطرية لمصفوفة مربعة، والذي يساوي أيضًا مجموع قيمها الذاتية.

Use the free calculatorCheck the variablesOpen the advanced solver
Open Advanced Calculator
This is the free calculator preview. Advanced walkthroughs stay in the app.
Result
Ready
Matrix Trace

Formula first

Overview

أثر المصفوفة المربعة هو القيمة القياسية المعرفة كمجموع العناصر على طول قطرها الرئيسي. وهو عامل أساسي في الجبر الخطي يساوي مجموع القيم الذاتية للمصفوفة ويظل ثابتًا تحت تحويلات التشابه.

Symbols

Variables

tr(A) = Matrix Trace, = Diagonal Element a11, = Diagonal Element a22

tr(A)
Matrix Trace
The sum of the diagonal elements
Diagonal Element a11
The first element on the main diagonal
Diagonal Element a22
The second element on the main diagonal

Apply it well

When To Use

When to use: استخدم الأثر عندما تحتاج إلى حساب مجموع القيم الذاتية أو تحديد الخصائص الثابتة للتحويل الخطي. ويُطبق أيضًا عند حساب الضرب الداخلي لمصفوفتين أو تحليل تباعد حقل متجه في حساب الموتر.

Why it matters: الأثر حيوي لأنه يبسط عمليات المصفوفات المعقدة إلى قيمة قياسية واحدة تلتقط معلومات أساسية حول النظام. في الفيزياء، يُستخدم في ميكانيكا الكم لإيجاد قيم التوقع وفي الديناميكا الحرارية لتعريف دالة التجزئة.

Avoid these traps

Common Mistakes

  • محاولة حساب الأثر لمصفوفة غير مربعة.
  • افتراض أن tr(ABC) = tr(ACB)؛ فقط التباديل الدورية مثل tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB) مضمونة.
  • الخلط بين الأثر والمحدد.

One free problem

Practice Problem

مصفوفة مربعة A بحجم 2×2 لها عناصر قطرية a₁₁ = x و a₂₂ = y. احسب أثر (النتيجة) المصفوفة A.

Hint: يتم إيجاد الأثر بجمع الأرقام الموجودة على القطر الرئيسي من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

References

Sources

  1. Linear Algebra and Its Applications by Gilbert Strang
  2. Wikipedia: Trace (linear algebra)
  3. Bird, R. Byron; Stewart, Warren E.; Lightfoot, Edwin N. (2007). Transport Phenomena (2nd ed.). John Wiley & Sons.
  4. Callen, Herbert B. (1985). Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics (2nd ed.). John Wiley & Sons.
  5. Lay, David C. Linear Algebra and Its Applications. Pearson, 2016.
  6. Trace (linear algebra). Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Trace_(linear_algebra)
  7. Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.