نظرية الرتبة-البطلان (Rank-Nullity Theorem) Calculator

Formula first

Overview

في سياق التحويل الخطي T: V → W حيث V هو ذو أبعاد محدودة، تقدم هذه النظرية قيدًا أساسيًا على العلاقة بين أبعاد النواة والصورة.

Symbols

Variables

$\dim$(V) = Dimension of Domain, $\text{rank}$(T) = Rank, $\text{nullity}$(T) = Nullity

Apply it well

When To Use

When to use: هذه النظرية هي الأداة الأساسية في الجبر الخطي الجامعي لتحديد أبعاد الفضاءات الجزئية المرتبطة بالتحويلات الخطية.

Why it matters: إنها تربط مفهوم التباين (المتصل بالبطلان) والشمول (المتصل بالرتبة) بهندسة فضاء النطاق.

Avoid these traps

Common Mistakes

• الخلط بين بعد النطاق المصاحب (W) وبعد النطاق (V).
• افتراض أن النظرية تنطبق على التحويلات غير الخطية.

One free problem

Practice Problem

بالنظر إلى تحويل خطي T: ℝ³ → ℝ² حيث النواة هي خط يمر عبر الأصل (البعد 1)، احسب رتبة T.

Hint: بعد النطاق هو 3. إذا كان البطلان هو 1، فاستخدم النظرية: الرتبة + البطلان = البعد (V).

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Keep going

Related Formulas

References

Sources

1. Axler, S. (2015). Linear Algebra Done Right.
2. Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right. Springer, 3rd ed., 2015.
3. Strang, Gilbert. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press, 5th ed., 2016.
4. Wikipedia: Rank-nullity theorem
5. Rank-nullity theorem (Wikipedia article)
6. Sheldon Axler Linear Algebra Done Right
7. Gilbert Strang Introduction to Linear Algebra
8. Wikipedia article 'Rank-nullity theorem'