Mathematicsالتفاضل والتكاملA-Level
CambridgeEdexcelAQACCEAOCRWJECAPIB

المساحة تحت المنحنى

حساب التكامل المحدد.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough
Open Full WalkthroughTry Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

تمثل هذه الصيغة النظرية الأساسية الثانية للتفاضل والتكامل، والتي توفر طريقة حسابية لتقييم التكاملات المحددة. وتحدد المساحة الصافية تحت منحنى على أنها الفرق بين قيم المشتق العكسي للدالة المقيمة عند الحدين العلوي والسفلي للتكامل.

When to use: استخدم هذه الصيغة عند حساب التغير المتراكم لدالة مستمرة على فترة محددة [a, b]. تنطبق هذه الصيغة كلما أمكن تحديد مشتق عكسي F(x) للمتكامل f(x) بحيث F'(x) = f(x).

Why it matters: هذه العلاقة هي أساس حساب التفاضل والتكامل، مما يسمح للعلماء بحل المشكلات المعقدة في الفيزياء والهندسة والاقتصاد. إنها تحول المشكلة الهندسية لإيجاد المساحات إلى حساب جبري مباشر للتقييم.

Symbols

Variables

A = Area, F(b) = Upper Limit Val, F(a) = Lower Limit Val

Area
F(b)
Upper Limit Val
Variable
F(a)
Lower Limit Val
Variable

Walkthrough

Derivation

فهم المساحة تحت المنحنى

التكامل المحدد يعطي المساحة الموقعة بين منحنى والمحور السيني على فترة.

  • f(x) مستمر على [a, b].
  • المساحات تحت المحور السيني تساهم بقيم سالبة في التكامل.
1

اكتب التكامل المحدد:

قم بالتكامل من a إلى b لتجميع المساحة الموقعة.

2

استخدم النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل:

ابحث عن دالة أصلية F(x)، ثم عوض بالحدود.

Note: إذا كنت تريد المساحة الهندسية الكلية، فاقسم عند نقاط تقاطع المحور السيني واستخدم القيم المطلقة.

Result

Source: AQA A-Level Mathematics — Pure (Integration)

Visual intuition

Graph

Graph type: polynomial

Why it behaves this way

Intuition

تخيل تقسيم المنطقة تحت المنحنى f(x) إلى مستطيلات رفيعة للغاية، كل منها بارتفاع f(x) وعرض dx، ثم جمع مساحات جميع هذه الشرائح من x=a إلى x=b لإيجاد المساحة الإجمالية.

Term
الكمية المتراكمة الصافية أو التغيير الكلي للدالة f(x) على الفترة [a, b].
هذا هو 'المقدار' الإجمالي الذي تراكم أو تغير من نقطة البداية 'a' إلى نقطة النهاية 'b'، كما تحددها الدالة f(x).
Term
المعدل اللحظي أو قيمة الكمية التي يتم تجميعها عند نقطة معينة x.
يمثل هذا 'ارتفاع' المنحنى عند أي x معين، مما يشير إلى مقدار ما يتم إضافته (أو طرحه) في تلك اللحظة بالضبط.
Term
زيادة صغيرة بشكل لا نهائي على طول المتغير المستقل x.
هذا هو 'عرض' شريحة أو فترة لا نهائية الصغر يتم اعتبار f(x) ثابتًا عليها لغرض الجمع.
Term
عملية التكامل المحدد، إجراء جمع مستمر لـ f(x) مضروبًا في dx على الفترة [a, b].
إنها عملية جمع عدد لا نهائي من المساهمات الصغيرة بشكل لا نهائي (f(x) * dx) من x=a إلى x=b.
Term
التغيير الصافي في الدالة الأصلية F(x) من الحد الأدنى 'a' إلى الحد الأعلى 'b'.
هذا هو إجمالي الكمية المتراكمة عند نقطة النهاية 'b' مطروحًا منها إجمالي الكمية المتراكمة عند نقطة البداية 'a'، مما ينتج مباشرة التغيير الكلي على الفترة.

Signs and relationships

  • F(b) - F(a): تطرح عملية الطرح التغيير الصافي في الكمية المتراكمة F(x) بين الحد الأعلى b والحد الأدنى a. النتيجة الإيجابية تشير إلى زيادة صافية في الكمية المتراكمة، بينما النتيجة السالبة

Free study cues

Insight

Canonical usage

تستخدم هذه المعادلة لتحديد كمية متراكمة، حيث تكون وحدة النتيجة 'A' هي حاصل ضرب وحدة الدالة 'f(x)' ووحدة متغير التكامل 'x'.

One free problem

Practice Problem

يتحرك جسيم على مسار حيث يمثل المشتق العكسي لدالة سرعته موقعه. إذا كان الموضع في نهاية الرحلة (Fb) هو 50 مترًا والموضع في البداية (Fa) هو 15 مترًا، فاحسب الإزاحة الكلية (A) التي تمثل المساحة تحت منحنى السرعة.

Hint: اطرح قيمة المشتق العكسي الأولية من قيمة المشتق العكسي النهائية.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في سياق المسافة المقطوعة عند إعطاء رسم بياني للسرعة، تُستخدم معادلة المساحة تحت المنحنى لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على ربط الحساب بالشكل أو معدل التغير أو الاحتمال أو القيد داخل النموذج.

Study smarter

Tips

  • تحقق دائمًا من أن الدالة مستمرة على الفترة بأكملها [a, b].
  • انتبه جيدًا للإشارات عند طرح قيمة الحد الأدنى من قيمة الحد الأعلى.
  • حدد المشتق العكسي بدقة قبل استبدال القيم الحدودية.

Avoid these traps

Common Mistakes

  • ترتيب الطرح (F(a)-F(b)).
  • النسيان أن يتم التكامل أولاً.

Common questions

Frequently Asked Questions

التكامل المحدد يعطي المساحة الموقعة بين منحنى والمحور السيني على فترة.

استخدم هذه الصيغة عند حساب التغير المتراكم لدالة مستمرة على فترة محددة [a, b]. تنطبق هذه الصيغة كلما أمكن تحديد مشتق عكسي F(x) للمتكامل f(x) بحيث F'(x) = f(x).

هذه العلاقة هي أساس حساب التفاضل والتكامل، مما يسمح للعلماء بحل المشكلات المعقدة في الفيزياء والهندسة والاقتصاد. إنها تحول المشكلة الهندسية لإيجاد المساحات إلى حساب جبري مباشر للتقييم.

ترتيب الطرح (F(a)-F(b)). النسيان أن يتم التكامل أولاً.

في سياق المسافة المقطوعة عند إعطاء رسم بياني للسرعة، تُستخدم معادلة المساحة تحت المنحنى لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على ربط الحساب بالشكل أو معدل التغير أو الاحتمال أو القيد داخل النموذج.

تحقق دائمًا من أن الدالة مستمرة على الفترة بأكملها [a, b]. انتبه جيدًا للإشارات عند طرح قيمة الحد الأدنى من قيمة الحد الأعلى. حدد المشتق العكسي بدقة قبل استبدال القيم الحدودية.

References

Sources

  1. Calculus: Early Transcendentals by James Stewart
  2. Wikipedia: Fundamental theorem of calculus
  3. Thomas' Calculus
  4. Halliday, Resnick, and Walker, Fundamentals of Physics
  5. Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage Learning.
  6. Thomas, G. B., Weir, M. D., & Hass, J. (2018). Thomas' Calculus (14th ed.). Pearson.
  7. AQA A-Level Mathematics — Pure (Integration)