Mathematicsالمعادلات التفاضليةUniversity
AQAAPOntarioNSWCBSEGCE O-LevelMoECAPS

نظرية الالتفاف (لابلاس)

تنص على أن تحويل لابلاس لالتفاف دالتين هو حاصل ضرب تحويلاتهما الفردية.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough
Open Full WalkthroughTry Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

توفر هذه النظرية طريقة قوية لإيجاد تحويلات لابلاس العكسية لحاصل ضرب الدوال باستخدام تكامل الالتفاف.

When to use: أساسي لحل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة وتحليل أنظمة الخطية الثابتة زمنيًا (LTI).

Why it matters: يحول عملية الالتفاف المعقدة في النطاق الزمني إلى ضرب جبري بسيط في نطاق التردد (s).

Symbols

Variables

F(s)G(s) = L{f * g}, F(s) = F(s), G(s) = G(s)

F(s)G(s)
L{f * g}
Transform of the convolution
F(s)
F(s)
Transform of the first function
G(s)
G(s)
Transform of the second function

Walkthrough

Derivation

اشتقاق/فهم نظرية الالتفاف (لابلاس)

يوضح هذا الاشتقاق أن تحويل لابلاس للالتفاف لدالتين يساوي حاصل ضرب تحويلاتهما التفاضلية الفردية.

  • الدالتان f(t) و g(t) مستمرتان جزئيًا في [0, ∞) ومن رتبة أسية.
  • تحويلات لابلاس F(s) = ℬ{f(t)} و G(s) = ℬ{g(t)} موجودة.
  • يمكن تبديل ترتيب التكامل (تنطبق نظرية فوبيني).
1

البدء بتعريف تحويل لابلاس للالتفاف:

نبدأ بتطبيق تعريف تحويل لابلاس للالتفاف لدالتين، f(t) و g(t)، وهو بحد ذاته تكامل.

2

تغيير ترتيب التكامل:

منطقة التكامل هي 0 ≤ τ ≤ t < ∞. بتغيير ترتيب التكامل، نعيد كتابة الحدود للتكامل بالنسبة لـ t أولاً، ثم τ.

3

إجراء استبدال في التكامل الداخلي:

دع u = t - τ، وبالتالي t = u + τ و dt = du. يحول هذا الاستبدال التكامل الداخلي إلى شكل يشبه تحويل لابلاس.

4

التعرف على تحويلات لابلاس:

التكامل الداخلي هو تعريف G(s) = ℬ{g(t)}. استخراج G(s) يترك تعريف F(s) = ℬ{f(t)}، وبالتالي يثبت النظرية.

Result

Source: Kreyszig, E. (2011). Advanced Engineering Mathematics (10th ed.). John Wiley & Sons.

Free formulas

Rearrangements

Solve for F(s)G(s)

اجعل F(s)G(s) موضوع المعادلة

نبدأ من نظرية الالتواء (لابلاس). التعبير F(s)G(s) معزول بالفعل، لذا فإن المهمة هي تحديده كموضوع وتقديمه في التدوين الهدف.

Difficulty: 1/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

Graph type: exponential

Why it behaves this way

Intuition

توفر هذه النظرية منظورًا قويًا 'لتحويل المجال'، حيث يتم تبسيط عملية معقدة مثل الالتفاف في مجال الزمن إلى ضرب جبري بسيط في مجال التردد.

Term
عامل تحويل لابلاس، والذي يحول دالة من مجال الزمن (t) إلى مجال التردد المعقد (s).
إنها تشبه ترجمة سلوك الإشارة عبر الزمن إلى مكونات ترددية، كاشفة عن 'بصمتها' الطيفية.
Term
تكامل الالتفاف لدالتين، f(t) و g(t). يصف كيف يؤثر شكل دالة على شكل دالة أخرى، وغالبًا ما يمثل خرج نظام خطي.
تخيل 'مزج' أو 'تلطيخ' دالة واحدة على أخرى، حيث تحدد الدالة الثانية الترجيح أو التأثير عند كل نقطة.
Term
تحويل لابلاس للدالة f(t)، والتي تمثل f(t) في مجال التردد المعقد.
هذه هي 'البصمة' في مجال التردد لـ f(t)، تفصل تردداتها المكونة بدلاً من تطورها الزمني.
Term
تحويل لابلاس للدالة g(t)، والتي تمثل g(t) في مجال التردد المعقد.
مماثلة لـ F(s)، هذه هي 'البصمة' في مجال التردد لـ g(t).

Free study cues

Insight

Canonical usage

يضمن الاتساق البعدي بين تحويل لابلاس للالتفاف وحاصل ضرب تحويلات لابلاس الفردية، حيث تكون وحدات متغير لابلاس 's' هي معكوس الزمن.

One free problem

Practice Problem

بالنظر إلى التحويلات الفردية F(s) = 4 و G(s) = 8، احسب تحويل لابلاس للالتفاف (f * g)(t).

Hint: وفقًا للنظرية، تحويل الالتفاف هو ببساطة حاصل ضرب التحويلات الفردية.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في معالجة الإشارات، يكون خرج النظام هو التفاف إشارة الدخل واستجابته النبضية؛ تسمح لنا هذه النظرية بإيجاد الخرج باستخدام الضرب في مجال s.

Study smarter

Tips

  • الالتفاف f * g يُعرف كتكامل من 0 إلى t للدالة f(τ)g(t-τ) dτ.
  • تذكر أن الالتفاف تبادلي، مما يعني f * g = g * f.

Avoid these traps

Common Mistakes

  • الخلط بين الالتفاف f*g والمنتج النقطي f(t)g(t).
  • نسيان أن النظرية لا تنطبق إلا إذا كانت التحويلات F(s) و G(s) موجودة لنفس منطقة التقارب.

Common questions

Frequently Asked Questions

يوضح هذا الاشتقاق أن تحويل لابلاس للالتفاف لدالتين يساوي حاصل ضرب تحويلاتهما التفاضلية الفردية.

أساسي لحل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة وتحليل أنظمة الخطية الثابتة زمنيًا (LTI).

يحول عملية الالتفاف المعقدة في النطاق الزمني إلى ضرب جبري بسيط في نطاق التردد (s).

الخلط بين الالتفاف f*g والمنتج النقطي f(t)g(t). نسيان أن النظرية لا تنطبق إلا إذا كانت التحويلات F(s) و G(s) موجودة لنفس منطقة التقارب.

في معالجة الإشارات، يكون خرج النظام هو التفاف إشارة الدخل واستجابته النبضية؛ تسمح لنا هذه النظرية بإيجاد الخرج باستخدام الضرب في مجال s.

الالتفاف f * g يُعرف كتكامل من 0 إلى t للدالة f(τ)g(t-τ) dτ. تذكر أن الالتفاف تبادلي، مما يعني f * g = g * f.

References

Sources

  1. Advanced Engineering Mathematics
  2. Wikipedia: Laplace transform
  3. Differential Equations with Boundary-Value Problems by Dennis G. Zill
  4. Dennis G. Zill, Warren S. Wright. Differential Equations with Boundary-Value Problems.
  5. Erwin Kreyszig. Advanced Engineering Mathematics.
  6. Wikipedia: Convolution theorem
  7. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics
  8. Boyce, DiPrima, and Meade, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems