محددة مصفوفة 2x2

Core idea

Overview

هندسيًا، يمثل القيمة المطلقة للمحددة عامل مقياس المساحة للتحويل الخطي المحدد بواسطة المصفوفة. إذا كانت المحددة صفرًا، فإن المصفوفة فردية، مما يعني أنها لا تحتوي على معكوس ويقوم التحويل الخطي بضغط الفضاء إلى بُعد أقل.

When to use: طبق هذا عند حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام قاعدة كرامر، أو إيجاد معكوس مصفوفة 2x2، أو حساب مساحة متوازي الأضلاع المحدد بواسطة متجهين.

Why it matters: يحدد ما إذا كان نظام المعادلات له حل فريد وهو أساسي في رسومات الكمبيوتر لتحويل الأشكال والقوام ثنائي الأبعاد.

Symbols

Variables

a = Top-Left Element, b = Top-Right Element, c = Bottom-Left Element, d = Bottom-Right Element

a

Top-Left Element

Variable

b

Top-Right Element

Variable

c

Bottom-Left Element

Variable

d

Bottom-Right Element

Variable

Walkthrough

Derivation

اشتقاق محدد مصفوفة 2x2

يتم اشتقاق محدد مصفوفة 2x2 عن طريق حل نظام المعادلات الخطية المتكون من ضرب المصفوفة بالمتجه لتحديد الشرط الذي تكون فيه المصفوفة غير قابلة للعكس.

المصفوفة A هي مصفوفة مربعة 2x2 بعناصر في حقل.
يُعرَّف المحدد كعامل قياس لمساحة التحويل.

1

تعريف النظام

نحلل النظام المتجانس $a x + b y = 0$ و $c x + d y = 0$ لإيجاد متى توجد حلول غير تافهة.

A x = 0 ⟹ (a b c d) (x y) = (00)

Note: المصفوفة تكون منفردة إذا وفقط إذا كان للنظام حل غير تافه.

2

الحذف الجبري

باستخدام المعادلة الأولى، نعبر عن $x$ بدلالة $y$ . ثم نعوض هذا في المعادلة الثانية $c x + d y = 0$ .

a x = - b y ⟹ x = - \frac{b}{a} y (a \neq = 0)

Note: نفترض $a \neq = 0$ للاشتقاق؛ النتيجة تنطبق بشكل عام عبر الاستمرارية.

3

التعويض والتحليل

بالتعويض بـ $x$ ، نحصل على معادلة واحدة لـ $y$ . لوجود حل غير تافه ( $y \neq = 0$ )، يجب أن يكون المعامل صفرًا.

c (- \frac{b}{a} y) + d y = 0 ⟹ (\frac{a d - b c}{a}) y = 0

Note: يجب أن يختفي المقدار $a d - b c$ لكي يكون للنظام حل غير تافه.

4

المحدد الناتج

يتم تحديد العامل $a d - b c$ على أنه المحدد، والذي يحدد ما إذا كانت المصفوفة ترسم الفضاء إلى بعد أقل (تصبح المساحة صفرًا).

det (A) = a d - b c

Note: إذا كان $det (A) \neq = 0$ ، فالمصفوفة قابلة للعكس.

Result

det (A) = a d - b c

Source: Linear Algebra Done Right, Sheldon Axler

Free formulas

Rearrangements

Solve for $a$

اجعل a موضوع المعادلة

a = \frac{det ( A ) + b c}{d}

أعد ترتيب المعادلة لجعل a موضوع المعادلة.

Difficulty: 2/5

Solve for $b$

اجعل b موضوع المعادلة

b = \frac{a d - det ( A )}{c}

أعد ترتيب المعادلة لجعل b موضوع المعادلة.

Difficulty: 2/5

Solve for $c$

اجعل c موضوع المعادلة

c = \frac{a d - det ( A )}{b}

أعد ترتيب المعادلة لجعل c موضوع المعادلة.

Difficulty: 2/5

Solve for $d$

اجعل d موضوع المعادلة

d = \frac{det ( A ) + b c}{a}

أعد ترتيب المعادلة لجعل d موضوع المعادلة.

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

فكر في صفوف المصفوفة كمتجهين يشكلان متوازي أضلاع في الفضاء ثنائي الأبعاد. المحدد هو المساحة الموقعة لمتوازي الأضلاع هذا. إذا كانت المساحة صفرًا، فإن المتجهين متوازيين وانهار متوازي الأضلاع إلى خط (المصفوفة غير قابلة للعكس).

Term

مكونات المصفوفة

القيم تمثل مقدار تمدد أو دوران كل متجه أساسي لتشكيل أضلاع متوازي الأضلاع.

Term

حاصل الضرب القطري الأساسي

مساهمة المساحة للمتجهات إذا كانت محاذية تمامًا للمحاور، وتمثل عامل القياس 'الرئيسي'.

Term

حاصل الضرب القطري الثانوي

عامل 'التداخل' أو التصحيح الذي يأخذ في الاعتبار انحراف متوازي الأضلاع بالنسبة للمحاور.

Signs and relationships

-: علامة الطرح تمثل اتجاه الفضاء؛ إذا قلب التحويل الاتجاه (تغيير ترتيب عقارب الساعة إلى عكس عقارب الساعة)، يصبح المحدد سالبًا.

One free problem

Practice Problem

احسب محددة المصفوفة A حيث a=3، b=2، c=1، d=4.

Hint: اضرب القطر الرئيسي (3*4) واطرح حاصل ضرب القطر غير الرئيسي (2*1).

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في رسومات الكمبيوتر ثنائية الأبعاد، تخبرك محددة مصفوفة التحويل بمدى تغير مساحة كائن عند تكبيره أو تحريفه أثناء العرض.

Study smarter

Tips

تصور الحساب على شكل صليب: اضرب القطر الهابط واطرح حاصل ضرب القطر الصاعد.
تذكر أن المحددة الصفرية تعني أن الصفوف/الأعمدة مستقلة خطيًا.
المحددة معرفة فقط للمصفوفات المربعة.

Avoid these traps

Common Mistakes

تبديل ترتيب الطرح (حساب bc - ad).
الخلط بين المحددة والمصفوفة نفسها أو معاملتها كمتجه.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

يتم اشتقاق محدد مصفوفة 2x2 عن طريق حل نظام المعادلات الخطية المتكون من ضرب المصفوفة بالمتجه لتحديد الشرط الذي تكون فيه المصفوفة غير قابلة للعكس.

طبق هذا عند حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام قاعدة كرامر، أو إيجاد معكوس مصفوفة 2x2، أو حساب مساحة متوازي الأضلاع المحدد بواسطة متجهين.

يحدد ما إذا كان نظام المعادلات له حل فريد وهو أساسي في رسومات الكمبيوتر لتحويل الأشكال والقوام ثنائي الأبعاد.

تبديل ترتيب الطرح (حساب bc - ad). الخلط بين المحددة والمصفوفة نفسها أو معاملتها كمتجه.

في رسومات الكمبيوتر ثنائية الأبعاد، تخبرك محددة مصفوفة التحويل بمدى تغير مساحة كائن عند تكبيره أو تحريفه أثناء العرض.

تصور الحساب على شكل صليب: اضرب القطر الهابط واطرح حاصل ضرب القطر الصاعد. تذكر أن المحددة الصفرية تعني أن الصفوف/الأعمدة مستقلة خطيًا. المحددة معرفة فقط للمصفوفات المربعة.

References

Sources

Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra.
3Blue1Brown, 'Essence of Linear Algebra' series.
Linear Algebra Done Right, Sheldon Axler

Overview

Variables

Derivation

تعريف النظام

الحذف الجبري

التعويض والتحليل

المحدد الناتج

Rearrangements

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Inverse of a 2x2 Matrix

Frequently Asked Questions

Sources