Economicsاختيار المستهلكUniversity

AQAAPOntarioNSWCBSEGCE O-LevelMoECAPS

دالة الإنفاق

تحدد الحد الأدنى للإنفاق المطلوب لتحقيق مستوى معين من المنفعة بأسعار محددة.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough

e (p, u) = x min {p \cdot x ∣ U (x) \geq u}

Open Full Walkthrough Try Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

دالة الإنفاق، التي يُرمز إليها بـ $e(\mathbf{p}, u)$، هي مفهوم أساسي في الاقتصاد الجزئي يمثل التكلفة الدنيا لتحقيق مستوى محدد من المنفعة ($u$) بالنظر إلى متجه من الأسعار ($\mathbf{p}$) للسلع. وهي مشتقة من مشكلة تعظيم المنفعة للمستهلك وهي حاسمة لفهم سلوك المستهلك، وتحليل الرفاهية، والازدواجية بين تعظيم المنفعة وتقليل الإنفاق. *لغرض هذه الآلة الحاسبة، تم تبسيط دالة المنفعة الأساسية وحزمة الاستهلاك للسماح بالمعالجة الجبرية المباشرة للسعر والمنفعة والإنفاق.*

When to use: طبق هذه الدالة عندما تحتاج إلى حساب أقل تكلفة ممكنة للوصول إلى مستوى منفعة مستهدف، بالنظر إلى أسعار السوق. إنها مفيدة بشكل خاص في اقتصاديات الرفاهية لقياس تكلفة المعيشة، والتعويضات المتغيرة، والتعويضات المكافئة، أو لتصميم برامج الإعانات المثلى.

Why it matters: دالة الإنفاق محورية في تحليل الرفاهية، مما يسمح للاقتصاديين بتحديد القيمة النقدية للتغيرات في المنفعة أو الأسعار. وهي تدعم اشتقاق دوال الطلب لهيكس (المعوضة) وتوفر أداة قوية لفهم كيفية تعديل المستهلكين لإنفاقهم للحفاظ على مستوى معيشي معين وسط تغيرات الأسعار، دون الخلط بين آثار الدخل.

Symbols

Variables

p = Price (simplified), u = Utility Level, x = Quantity (simplified), U = Utility Function (simplified), e = Minimum Expenditure

p

Price (simplified)

u

Utility Level

utils

x

Quantity (simplified)

units

U

Utility Function (simplified)

function

e

Minimum Expenditure

Walkthrough

Derivation

الصيغة: دالة الإنفاق

تحدد دالة الإنفاق الحد الأدنى للتكلفة لتحقيق مستوى منفعة معين بالنظر إلى الأسعار.

تفضيلات المستهلك عقلانية، كاملة، متعدية، مستمرة، وغير مشبعة محليًا.
الأسعار موجبة وثابتة.
دالة المنفعة مستمرة وشبه مقعرة.
يسعى المستهلك إلى تقليل الإنفاق مع الالتزام بتحقيق مستوى منفعة مستهدف.

تعريف مشكلة تقليل الإنفاق:

يختار المستهلك حزمة استهلاكية $x$ لتقليل إجمالي الإنفاق $p \cdot x$ ، مع الالتزام بتحقيق مستوى منفعة مستهدف $u$ على الأقل من دالة المنفعة $U (x)$ .

x min {p \cdot x ∣ U (x) \geq u}

تشكيل لاغرانج:

يتم إعداد لاغرانج لحل مشكلة التحسين المقيدة هذه، حيث يكون $λ$ مضاعف لاغرانج الذي يمثل التكلفة الحدية لزيادة المنفعة.

L (x, λ) = p \cdot x - λ (U (x) - u)

شروط الدرجة الأولى (FOCs):

تشير شروط التوازن المثلى (FOCs) إلى أنه عند الأمثل، تكون نسبة المنفعة الحدية إلى السعر متساوية عبر جميع السلع، وتساوي معكوس مضاعف لاغرانج (المنفعة الحدية للنقود).

\frac{\partial L}{\partial x _{i}} = p_{i} - λ \frac{\partial U}{\partial x _{i}} = 0 ⟹ p_{i} = λ M U_{i}

حل لدوال الطلب لهكس:

يؤدي حل شروط التوازن المثلى (FOCs) إلى دوال الطلب لهكس (أو الدوال المعوضة)، والتي تظهر كمية كل سلعة مطلوبة كدالة للأسعار ومستوى المنفعة المستهدف.

x^{*} = h (p, u)

التعويض في دالة الإنفاق:

عوّض بدوال الطلب لهكس مرة أخرى في دالة هدف الإنفاق للحصول على الحد الأدنى للإنفاق المطلوب لتحقيق المنفعة $u$ عند الأسعار $p$ .

e (p, u) = p \cdot h (p, u)

Result

e (p, u) = p \cdot h (p, u)

Source: Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. 3rd ed. W. W. Norton & Company, 1992. Chapter 3: Consumer Choice.

Why it behaves this way

Intuition

تخيل سطحًا متعدد الأبعاد حيث تمثل كل نقطة مزيجًا من السلع ويمثل ارتفاعها التكلفة الإجمالية. تجد دالة الإنفاق أدنى نقطة على سطح التكلفة هذا التي لا تزال تقع على

Term

الحد الأدنى للإنفاق الإجمالي المطلوب لتحقيق مستوى منفعة محدد.

تخبرك بأرخص طريقة مطلقة للوصول إلى مستوى الرضا المرغوب فيه بالنظر إلى أسعار السوق الحالية.

Term

متجه يمثل أسعار السوق لجميع السلع المتاحة.

كم يكلف كل عنصر على حدة.

Term

مستوى منفعة مستهدف محدد أو رضا يرغب المستهلك في تحقيقه.

الكمية المرغوبة من 'السعادة' أو الرفاهية.

Term

متجه يمثل كميات السلع المختلفة المستهلكة.

سلة التسوق المحددة من السلع التي يشتريها المستهلك.

Term

التكلفة النقدية الإجمالية لمجموعة استهلاك \mathbf{x}، محسوبة كمجموع (سعر السلعة i * كمية السلعة i) لجميع السلع.

فاتورتك الإجمالية عند كاشير لمجموعة محددة من المشتريات.

Term

دالة المنفعة، التي تقيس إجمالي الرضا أو الرفاهية المشتقة من استهلاك سلة محددة من السلع \mathbf{x}.

مقدار الرضا الذي تحصل عليه من سلة تسوق معينة.

Term

العملية الرياضية لإيجاد أصغر قيمة ممكنة للدالة الهدف (الإنفاق الإجمالي) عن طريق اختيار سلة الاستهلاك المثلى \mathbf{x}.

أنت تبحث بنشاط عن أرخص طريقة مطلقة لتلبية احتياجاتك.

Term

قيد يضمن أن سلة الاستهلاك المختارة \mathbf{x} توفر على الأقل مستوى المنفعة المستهدف u.

يجب أن يكون الرضا الذي تحصل عليه من مشترياتك مساويًا أو أكبر من مستوى السعادة المرغوب فيه.

Free study cues

Insight

Canonical usage

يُعبر عن الإنفاق والأسعار بوحدة نقدية متسقة، بينما تُعالج المنفعة عادةً كمقياس ترتيبي بلا وحدات.

Dimension note

مستوى المنفعة (u) ومخرج دالة المنفعة (U(x)) يُعتبران عادةً لا بُعديين أو تُسند إليهما وحدات اعتباطية ('وحدات منفعة')

One free problem

Practice Problem

باستخدام نموذج الإنفاق المبسط $e = p \cdot u$ ، إذا كانت سلعة مسعرة بـ $p = 12$ لكل وحدة ومستوى المنفعة المستهدف هو $u = 50$ ، فما هو الحد الأدنى للإنفاق المطلوب؟

Hint: استخدم دالة الإنفاق لكوب دوغلاس: $e = 2 u p_{1} p_{2}$ .

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

تستخدمها الحكومات لحساب تكلفة الحفاظ على مستوى معيشي معين للأسر ذات الدخل المنخفض، وتوجيه سياسات التخفيف من حدة الفقر.

Study smarter

Tips

دالة الإنفاق غير متناقصة في الأسعار ومتزايدة في المنفعة.
إنها مقعرة في الأسعار، مما يعكس قدرة المستهلك على استبدال السلع الأكثر تكلفة نسبيًا.
تنص مبرهنة شيبرد على أن طلب هيكس لسلعة هو المشتق الجزئي لدالة الإنفاق بالنسبة لسعر تلك السلعة.
دالة الإنفاق متجانسة من الدرجة الأولى في الأسعار (مضاعفة جميع الأسعار تضاعف الحد الأدنى للإنفاق).

Avoid these traps

Common Mistakes

الخلط بين دالة الإنفاق ودالة المنفعة غير المباشرة (إنهما معكوسان).
افتراض دالة منفعة معينة بشكل خاطئ عند اشتقاق الدالة أو تطبيقها.
سوء تفسير عامل 'min' على أنه حساب جبري بسيط بدلاً من مشكلة تحسين.

Common questions

Frequently Asked Questions

تحدد دالة الإنفاق الحد الأدنى للتكلفة لتحقيق مستوى منفعة معين بالنظر إلى الأسعار.

طبق هذه الدالة عندما تحتاج إلى حساب أقل تكلفة ممكنة للوصول إلى مستوى منفعة مستهدف، بالنظر إلى أسعار السوق. إنها مفيدة بشكل خاص في اقتصاديات الرفاهية لقياس تكلفة المعيشة، والتعويضات المتغيرة، والتعويضات المكافئة، أو لتصميم برامج الإعانات المثلى.

دالة الإنفاق محورية في تحليل الرفاهية، مما يسمح للاقتصاديين بتحديد القيمة النقدية للتغيرات في المنفعة أو الأسعار. وهي تدعم اشتقاق دوال الطلب لهيكس (المعوضة) وتوفر أداة قوية لفهم كيفية تعديل المستهلكين لإنفاقهم للحفاظ على مستوى معيشي معين وسط تغيرات الأسعار، دون الخلط بين آثار الدخل.

الخلط بين دالة الإنفاق ودالة المنفعة غير المباشرة (إنهما معكوسان). افتراض دالة منفعة معينة بشكل خاطئ عند اشتقاق الدالة أو تطبيقها. سوء تفسير عامل 'min' على أنه حساب جبري بسيط بدلاً من مشكلة تحسين.

دالة الإنفاق غير متناقصة في الأسعار ومتزايدة في المنفعة. إنها مقعرة في الأسعار، مما يعكس قدرة المستهلك على استبدال السلع الأكثر تكلفة نسبيًا. تنص مبرهنة شيبرد على أن طلب هيكس لسلعة هو المشتق الجزئي لدالة الإنفاق بالنسبة لسعر تلك السلعة. دالة الإنفاق متجانسة من الدرجة الأولى في الأسعار (مضاعفة جميع الأسعار تضاعف الحد الأدنى للإنفاق).

References

Sources

Hal R. Varian, Microeconomic Analysis
Walter Nicholson and Christopher Snyder, Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions
Wikipedia: Expenditure function
Mas-Colell, Whinston, and Green, Microeconomic Theory
Hal R. Varian Microeconomic Analysis
Walter Nicholson, Christopher Snyder Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions
Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston, Jerry R. Green Microeconomic Theory
Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. 3rd ed. W. W. Norton & Company, 1992. Chapter 3: Consumer Choice.

دالة الإنفاق

Overview

Variables

Derivation

تعريف مشكلة تقليل الإنفاق:

تشكيل لاغرانج:

شروط الدرجة الأولى (FOCs):

حل لدوال الطلب لهكس:

التعويض في دالة الإنفاق:

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Utility Function

Indirect Utility Function

Hicksian Demand Function

Frequently Asked Questions

Sources