تكامل الخط المتجه العام

Core idea

Overview

يُقيّم التكامل تراكم حقل متجه على طول مسار عن طريق أخذ حاصل الضرب النقطي للحقل مع متجه المماس للمنحنى. من خلال تحديد معلمات المنحنى كـ r(t)، تُختزل المشكلة إلى تكامل محدد قياسي فيما يتعلق بالمعلمة t. هذه الطريقة أساسية لحساب التدفق، والدوران، والشغل في الحقول المحافظة أو غير المحافظة.

When to use: استخدم هذه الصيغة عندما تحتاج إلى حساب الشغل الذي تبذله حقل قوة على طول مسار معين أو دوران تدفق سائل على طول منحنى.

Why it matters: إنها تشكل الأساس للمفاهيم الفيزيائية مثل نقل الطاقة، والجهد الكهربائي، وديناميات السوائل، وربط حقول المتجهات المحلية بالنتائج العالمية التي تعتمد على المسار.

Symbols

Variables

F = Vector Field, r(t) = Parameterization

F

Vector Field

Variable

r(t)

Parameterization

Variable

Walkthrough

Derivation

اشتقاق تكامل الخط المتجه العام

يحول هذا الاشتقاق تكامل الخط المكاني إلى تكامل ريمان لمتغير واحد عن طريق تمثيل مسار التكامل.

المنحنى C أملس جزئيًا ويمكن تمثيله بواسطة دالة متجهية r(t) لـ t في [a, b].
المجال المتجهي F مستمر على طول المسار C.

1

تقسيم المنحنى

نحن نقرب المنحنى C بتقسيمه إلى n متجهات إزاحة صغيرة Δ $r_{i}$ على طول المسار.

C = n \to \infty lim i = 1 \sum n Δ r_{i}

Note: فكر في هذا كتقريب مسار منحني بسلسلة من قطع مستقيمة صغيرة جدًا.

2

صياغة مجموع ريمان

نجمع حاصل الضرب النقطي للمجال المتجهي المقيم في نقطة على كل جزء مع متجه الإزاحة لذلك الجزء.

\int_{C} F \cdot d r \approx i = 1 \sum n F (r_{i}^{*}) \cdot Δ r_{i}

Note: عندما يقترب عدد الأجزاء من اللانهاية، يتقارب المجموع إلى تعريف تكامل الخط.

3

إدخال التمثيل

باستخدام نظرية القيمة المتوسطة للدوال المتجهية، نعبر عن الإزاحة Δ $r_{i}$ بدلالة مشتقة التمثيل r(t) والتغيير في الزمن Δt.

Δ r_{i} \approx r^{'} (t_{i}) Δ t

Note: تذكر أن السرعة هي مشتقة الموضع؛ هنا، تمثل r'(t) 'السرعة' على طول المسار.

4

الحد إلى التكامل

بالتعويض بالشكل التفاضلي مرة أخرى في المجموع وأخذ الحد عندما يقترب n من اللانهاية، ينتج التكامل القياسي بالنسبة لـ t.

\int_{C} F \cdot d r = \int_{a}^{b} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t

Note: تحقق دائمًا من أن اتجاه تمثيلك يتطابق مع اتجاه تكامل الخط.

Result

\int_{C} F \cdot d r = \int_{a}^{b} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t

Source: Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage Learning.

One free problem

Practice Problem

احسب الشغل الذي يبذله حقل القوة F = <y, x> على طول المنحنى r(t) = <cos(t), sin(t)> لـ t من 0 إلى pi.

Hint: احسب r'(t) = <-sin(t), cos(t)> واضربها نقطيًا في F(r(t)) = <sin(t), cos(t)>.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في العمل الذي يقوم به مجال مغناطيسي متغير على جسيم مشحون يتحرك على طول مسار سلكي محدد، يُستخدم تكامل الخط المتجه العام لحساب \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} من حقل متجه ومعلمة. النتيجة مهمة لأنها تساعد في تحويل كمية متغيرة إلى كمية إجمالية مثل المساحة أو المسافة أو الحجم أو العمل أو التكلفة.

Study smarter

Tips

تحقق دائمًا من أن المنحنى مُعَلّم بشكل صحيح على الفترة [a, b].
تأكد من تقييم حقل المتجهات F عند النقاط الموجودة على المنحنى عن طريق استبدال r(t) في F(x, y, z).
لا تنسَ قاعدة السلسلة عند حساب مشتق تحديد المعلمات r'(t).

Avoid these traps

Common Mistakes

نسيان الضرب في مشتق تحديد المعلمات (r'(t)) داخل التكامل.
الفشل في استبدال المتغيرات المعلمة في حقل المتجهات F، وترك x و y و z كمتغيرات مستقلة.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

يحول هذا الاشتقاق تكامل الخط المكاني إلى تكامل ريمان لمتغير واحد عن طريق تمثيل مسار التكامل.

استخدم هذه الصيغة عندما تحتاج إلى حساب الشغل الذي تبذله حقل قوة على طول مسار معين أو دوران تدفق سائل على طول منحنى.

إنها تشكل الأساس للمفاهيم الفيزيائية مثل نقل الطاقة، والجهد الكهربائي، وديناميات السوائل، وربط حقول المتجهات المحلية بالنتائج العالمية التي تعتمد على المسار.

نسيان الضرب في مشتق تحديد المعلمات (r'(t)) داخل التكامل. الفشل في استبدال المتغيرات المعلمة في حقل المتجهات F، وترك x و y و z كمتغيرات مستقلة.