معادلة هاجن-بوازوي | Equation, Derivation and Rearrangements

Core idea

Overview

تصف هذه المعادلة ظروف التدفق الصفائحي حيث يتحرك السائل في طبقات متوازية دون اضطراب بينها. تربط بين انخفاض الضغط عبر طول الأنبوب ونصف قطر الأنبوب ولزوجة السائل. توفر النتيجة المعدل الذي يمر به حجم السائل عبر المقطع العرضي لكل وحدة زمنية.

When to use: استخدم هذه المعادلة عند تحليل التدفق الصفائحي لسائل نيوتوني لزج غير قابل للانضغاط عبر أنبوب ذي مقطع عرضي دائري ثابت.

Why it matters: إنها ضرورية لفهم تدفق الدم في نظام الدورة الدموية وتصميم أنظمة التشحيم وتحليل التدفق في أجهزة الموائع الدقيقة.

Symbols

Variables

Q = Volumetric Flow Rate, R = Pipe Radius, $μ$ = Dynamic Viscosity, $P$ _1 = Inlet Pressure, $P$ _2 = Outlet Pressure

Q

Volumetric Flow Rate

m^{3} / s

R

Pipe Radius

m

μ

Dynamic Viscosity

P a \cdot s

P_{1}

Inlet Pressure

Pa

P_{2}

Outlet Pressure

Pa

Δ P

Pressure Difference

Pa

L

Pipe Length

m

Walkthrough

Derivation

اشتقاق معادلة هاجن-بوازوي

يحدد هذا الاشتقاق معدل التدفق الحجمي لمائع نيوتني عبر أنبوب أسطواني من خلال تكامل ملف السرعة المشتق من معادلات نافييه-ستوكس.

المائع غير قابل للانضغاط ونيوتني.
الجريان صفحي، ومستقر، ومكتمل التطور.
الأنبوب عبارة عن أسطوانة مستقيمة صلبة ذات مقطع عرضي دائري ثابت.

1

اتزان القوى على عنصر مائع

ننظر إلى عنصر مائع أسطواني نصف قطره r وطوله L. في الجريان المستقر، يجب أن تتوازن قوة الضغط التي تدفع المائع مع قوة إجهاد القص المؤثرة على سطح العنصر.

τ (2 π r L) = (P_{1} - P_{2}) π r^{2}

Note: يفترض هذا أن تدرج الضغط ثابت على طول الأنبوب.

2

التعبير عن إجهاد القص

باستخدام قانون نيوتن للزوجة، نربط إجهاد القص بتدرج السرعة. وتسمح لنا إعادة ترتيب معادلة اتزان القوى بحل تدرج السرعة بدلالة هبوط الضغط.

τ = - μ \frac{d v}{d r} = \frac{( P _{1} - P _{2} ) r}{2 L}

Note: تشير الإشارة السالبة إلى أن السرعة تنخفض مع زيادة نصف القطر.

3

التكامل لإيجاد ملف السرعة

تكامل تدرج السرعة بالنسبة إلى r وتطبيق شرط عدم الانزلاق (v=0 عند r=R) ينتج ملف السرعة المكافئي.

v (r) = \frac{( P _{1} - P _{2} )}{4 μL} (R^{2} - r^{2})

Note: يوضح هذا أن السرعة قصوى عند مركز الأنبوب (r=0).

4

حساب معدل التدفق الحجمي

يتم إيجاد معدل التدفق الحجمي الكلي Q بتكامل ملف السرعة على كامل مساحة المقطع العرضي للأنبوب باستخدام الإحداثيات الأسطوانية.

Q = \int_{0}^{R} v (r) 2 π r d r

Note: يمثل الحد 2πr dr مساحة حلقة رفيعة عند نصف القطر r.

5

التكامل النهائي

يؤدي إجراء التكامل إلى معادلة هاجن-بوازوي النهائية، التي تربط معدل التدفق بهندسة الأنبوب ولزوجة المائع وانخفاض الضغط.

Q = \int_{0}^{R} \frac{( P _{1} - P _{2} )}{4 μL} (R^{2} - r^{2}) 2 π r d r = \frac{R ^{4} π}{8 μ} (\frac{P _{1} - P _{2}}{L})

Note: لاحظ الاعتماد القوي على نصف قطر الأنبوب ( $R^{4}$ ).

Result

Q = \int_{0}^{R} \frac{( P _{1} - P _{2} )}{4 μL} (R^{2} - r^{2}) 2 π r d r = \frac{R ^{4} π}{8 μ} (\frac{P _{1} - P _{2}}{L})

Source: Bird, R. B., Stewart, W. E., & Lightfoot, E. N. (2002). Transport Phenomena.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $μ = \frac{R ^{4} π ( P _{1} - P _{2} )}{8 Q L}$

اجعل mu موضوع المعادلة

μ = \frac{R ^{4} π ( P _{1} - P _{2} )}{8 Q L}

أعد ترتيب المعادلة لجعل mu موضوع المعادلة.

Difficulty: 3/5

Solve for $Δ P = \frac{8 Q μL}{R ^{4} π}$

اجعل deltaP موضوع المعادلة

Δ P = \frac{8 Q μL}{R ^{4} π}

أعد ترتيب المعادلة لجعل deltaP موضوع المعادلة.

Difficulty: 3/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

يوضح الرسم علاقة خطية بين معدل التدفق الحجمي (Q) وفرق الضغط ($\Delta\mathcal{P}$). ومع زيادة فرق الضغط، يزداد معدل التدفق الحجمي مباشرةً وبشكل متناسب. بالنسبة للطالب، يعني ذلك أن مضاعفة فرق الضغط ستضاعف معدل التدفق، بافتراض ثبات العوامل الأخرى. أهم ميزة هي هذا التناسب المباشر، الذي يوضح بجلاء كيف يدفع الضغط جريان المائع في الأنبوب.

Graph type: linear

Why it behaves this way

Intuition

يعرض التصور الهندسي السرعة, السائل, الحجم, معدل الجريان والمعادلات من زاوية عملية؛ فالعلاقة تُقرأ كصورة تربط الكميات المؤثرة بطريقة تجعل تغير كل كمية ظاهرًا في استجابة النظام. يساعد ذلك على رؤية المسألة كحالة فيزيائية لها مدخلات ونتائج، لا كصيغة رمزية منفصلة عن معناها. خلاصة المصدر هنا: السرعة، السائل والحجم. كما يساعد على فصل دور المتغير الرئيس عن الشروط الثابتة المحيطة به.

Term

معدل التدفق الحجمي

يركز الرمز Q على معدل التدفق الحجمي في سياق اشتقاق Hagen-Poiseuille معادلة. في الحساب يُعامل كمدخل يغير مستوى الاستجابة، لذلك تؤثر قيمته في قراءة المعادلة النهائية.

Term

معنى فيزيائي: Pipe Radius

يوضح الحد R كيف تؤثر القدرة, الجريان, الزمن, الحجم, معدل الجريان والسرعة في نتيجة العلاقة؛ فتغييره يبدل مقدار الاستجابة أو اتجاهها بحسب موضعه في الصيغة. لذلك يُقرأ كجزء من السلوك الفيزيائي للنموذج، لا كعامل عددي مستقل عن باقي الحدود. خلاصة المصدر هنا: القدرة، الجريان والزمن.

Term

اللزوجة الديناميكية

يدخل µ في صيغة اشتقاق Hagen-Poiseuille معادلة بوصفه مؤشرًا على اللزوجة الديناميكية. تغييره يعيد توزيع الأثر بين الحدود ولا يكون مجرد معامل شكلي.

Term

هبوط الضغط

يعطي P1 - P2 مقياسًا مرتبطًا بـ هبوط الضغط ضمن اشتقاق Hagen-Poiseuille معادلة. إذا ثُبتت الشروط الأخرى فإن تغيره يكشف حساسية النموذج لهذا الجانب تحديدًا.

Term

معنى فيزيائي: Pipe Length

يميز L جانب Pipe طول داخل اشتقاق Hagen-Poiseuille معادلة. لذلك تساعد متابعته على معرفة أي جزء من الظاهرة يقود الزيادة أو النقصان.

Signs and relationships

R^4: بالنسبة إلى $R^{4}$ ، تبيّن الإشارة أن مساهمة الحد تُضاف أو تعمل في اتجاه المرجع المختار. ويرتبط ذلك بـ الجريان, الحجم, معدل الجريان, السرعة والمعادلات وبطريقة تعريف الحدود في المسألة. لذلك يجب استعمال الاصطلاح نفسه عند التعويض أو مقارنة الحالات حتى لا تنعكس دلالة الناتج. خلاصة المصدر هنا: الجريان.
(P1 - P2): بالنسبة إلى (P1 - P2)، تبيّن الإشارة أن مساهمة الحد تُضاف أو تعمل في اتجاه المرجع المختار. ويرتبط ذلك بـ الجريان, الضغط, السرعة, الحجم, معدل الجريان والمعادلات وبطريقة تعريف الحدود في المسألة. لذلك يجب استعمال الاصطلاح نفسه عند التعويض أو مقارنة الحالات حتى لا تنعكس دلالة الناتج. خلاصة المصدر هنا: الجريان، الضغط والسرعة.
8µL في مقام: يوضح 8µL في مقام اتجاه تأثيره داخل اشتقاق معادلة هاجن-بوازوي، لذلك يجب الحفاظ على موضعه أو إشارته عند تفسير النتيجة.

One free problem

Practice Problem

احسب معدل التدفق Q ( $m^{3}$ /ث) لمائع له لزوجة ديناميكية 0.001 Pa·ث، ونصف قطر أنبوب 0.01 m، وطول 2 m، وفرق ضغط 100 Pa.

Hint: تأكد من حساب فرق الضغط على أنه (P1 - P2) وأن الوحدات في النظام الدولي.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في سياق حساب حجم الدم المتدفق عبر جزء معين من الوعاء لتقييم وظائف القلب والأوعية الدموية، تُستخدم معادلة معادلة هاجن-بوازوي لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على فحص أبعاد التصميم أو الأداء أو هامش الأمان قبل الاعتماد على النتيجة.

Study smarter

Tips

تأكد من أن التدفق صفائحي بالتحقق من رقم رينولدز.
تأكد من أن الأنبوب طويل بما يكفي بالنسبة لقطره لتجاهل تأثيرات المدخل.
تحقق من أن وحدات الضغط والطول ونصف القطر متسقة.

Avoid these traps

Common Mistakes

تطبيق المعادلة على ظروف التدفق الاضطرابي، حيث لم تعد صالحة.
الخلط بين نصف قطر الأنبوب والقطر.
الفشل في تحويل وحدات اللزوجة، مما يؤدي إلى قيم ضغط أو تدفق غير صحيحة.

Common questions

Frequently Asked Questions

يحدد هذا الاشتقاق معدل التدفق الحجمي لمائع نيوتني عبر أنبوب أسطواني من خلال تكامل ملف السرعة المشتق من معادلات نافييه-ستوكس.

استخدم هذه المعادلة عند تحليل التدفق الصفائحي لسائل نيوتوني لزج غير قابل للانضغاط عبر أنبوب ذي مقطع عرضي دائري ثابت.

إنها ضرورية لفهم تدفق الدم في نظام الدورة الدموية وتصميم أنظمة التشحيم وتحليل التدفق في أجهزة الموائع الدقيقة.

تطبيق المعادلة على ظروف التدفق الاضطرابي، حيث لم تعد صالحة. الخلط بين نصف قطر الأنبوب والقطر. الفشل في تحويل وحدات اللزوجة، مما يؤدي إلى قيم ضغط أو تدفق غير صحيحة.

في سياق حساب حجم الدم المتدفق عبر جزء معين من الوعاء لتقييم وظائف القلب والأوعية الدموية، تُستخدم معادلة معادلة هاجن-بوازوي لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على فحص أبعاد التصميم أو الأداء أو هامش الأمان قبل الاعتماد على النتيجة.

تأكد من أن التدفق صفائحي بالتحقق من رقم رينولدز. تأكد من أن الأنبوب طويل بما يكفي بالنسبة لقطره لتجاهل تأثيرات المدخل. تحقق من أن وحدات الضغط والطول ونصف القطر متسقة.

References

Sources

White, F. M. (2016). Fluid Mechanics. McGraw-Hill Education.
Munson, B. R., Young, D. F., & Okiishi, T. H. (2013). Fundamentals of Fluid Mechanics. Wiley.
NIST CODATA
IUPAC Gold Book
Wikipedia: Hagen–Poiseuille equation
White, Frank M. Fluid Mechanics. 8th ed., McGraw-Hill Education, 2016.
Britannica - Hagen-Poiseuille equation
Wikipedia - Hagen–Poiseuille equation