Mathematicsالتفاضل والتكاملA-Level
CambridgeIEBEdexcelWJECAQACCEAOCRAP

تكامل x^n

قاعدة القوة للتكامل.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough
Open Full WalkthroughTry Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

توفر قاعدة القوة للتكامل طريقة منهجية لإيجاد المشتق العكسي لمتغير مرفوع إلى قوة ثابتة. وهي تنص على أن التكامل يُوجد بزيادة الأس بمقدار واحد وقسمة التعبير على قيمة الأس الجديدة هذه.

When to use: استخدم هذه القاعدة عند دمج دوال القوة من الشكل xⁿ حيث n هو أي عدد حقيقي. لاحظ أن هذه الصيغة المحددة تنطبق فقط عندما لا يكون الأس n مساويًا لـ -1، حيث تتطلب هذه الحالة حلاً لوغاريتميًا.

Why it matters: تعتبر هذه الصيغة حجر الزاوية في حساب التفاضل والتكامل المستخدم لحساب المساحات تحت المنحنيات، والشغل المنجز بواسطة القوى المتغيرة، وعزوم القصور الذاتي. وهي تسمح للمهندسين والعلماء بالانتقال من نماذج معدل التغير إلى نماذج التراكم الكلي.

Symbols

Variables

I = Integral Value, x = x Value, n = Power

Integral Value
(ignoring C)
x Value
Variable
Power
Variable

Walkthrough

Derivation

الصيغة: تكامل x^n (قاعدة القوة للتكامل)

التكامل يعكس الاشتقاق. قاعدة القوة للتكامل تزيد الأس بمقدار 1 وتقسم على الأس الجديد.

1

اذكر القاعدة:

أضف 1 إلى الأس، واقسم على الأس الجديد، وأضف ثابت التكامل C.

2

التحقق بالاشتقاق:

يعيد الاشتقاق التكامل الأصلي، مما يؤكد القاعدة.

Result

Source: Standard curriculum — A-Level Pure Mathematics

Visual intuition

Graph

Graph type: power_law

Why it behaves this way

Intuition

يمثل التكامل المساحة الكلية المتراكمة تحت منحنى الدالة ص = س^ن عن طريق جمع عدد لا نهائي من المستطيلات الرأسية الضيقة بشكل لا نهائي، كل منها بارتفاع س^ن وعرض دس.

Term
المتغير المستقل للدالة التي يتم تكاملها.
يمثل الكمية التي يتم قياس التراكم على طولها، مثل الموضع أو الوقت أو الطول.
Term
الأس الثابت للمتغير المستقل.
يحدد انحناء الدالة س^ن أو معدل تغيرها، مما يؤثر على سرعة نمو أو انكماش القيمة المتراكمة.
Term
زيادة لا نهائية صغرى للمتغير المستقل س.
يمثل 'عرض' شريحة ضيقة بشكل لا نهائي، 'ارتفاعها' هو س^ن، مما يساهم في المجموع الكلي.
Term
عامل التكامل، يشير إلى عملية إيجاد الدالة الأصلية أو الجمع.
يرمز إلى عملية جمع عدد لا نهائي من المساهمات الصغرية (س^ن دس) لإيجاد الكمية المتراكمة الكلية أو التغير الصافي.
Term
ثابت التكامل.
يأخذ في الاعتبار القيمة الابتدائية غير المعروفة أو 'نقطة البداية' للكمية المتراكمة، والتي تُفقد عند اشتقاق دالة.

Signs and relationships

  • n+1 (in exponent): يزداد الأس بمقدار واحد لأن التكامل هو العملية العكسية للاشتقاق، حيث يقل الأس بمقدار واحد.
  • n+1 (in denominator): القسمة على الأس الجديد ن+1 تلغي العامل الذي سيظهر إذا تم اشتقاق النتيجة س^(ن+1)، مما يضمن الدالة الأصلية الصحيحة.
  • +C: يُضاف الثابت ج لأن مشتقة أي ثابت هي صفر، مما يعني وجود حد ثابت اختياري في الدالة الأصلية يتم استعادته أثناء التكامل غير المحدد.

Free study cues

Insight

Canonical usage

تستخدم هذه المعادلة لتحديد المشتقة العكسية لدالة القوة، حيث يكون بُعد النتيجة دائماً أعلى بواحد من بُعد متغير الدالة الأصلية.

One free problem

Practice Problem

أوجد قيمة التكامل I = ∫ xⁿ dx علمًا بأن n = 2 و x = 3، بافتراض أن ثابت التكامل C هو 0.

Hint: الصيغة المتكاملة هي x³ / 3.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في سياق إيجاد الموضع من السرعة، تُستخدم معادلة تكامل x^n لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على ربط الحساب بالشكل أو معدل التغير أو الاحتمال أو القيد داخل النموذج.

Study smarter

Tips

  • أضف دائمًا ثابت التكامل C عند إجراء التكاملات غير المحددة.
  • تحقق مما إذا كان الأس هو -1 قبل المتابعة لتجنب القسمة على صفر.
  • حوّل علامات الجذر أو الكسور إلى أسس (على سبيل المثال، √x إلى .5) قبل التكامل.
  • تحقق من نتيجتك عن طريق اشتقاقها؛ يجب أن تعود إلى الدالة الأصلية.

Avoid these traps

Common Mistakes

  • تقليل القوة.
  • الاستخدام لـ n=-1 (استخدم ln).

Common questions

Frequently Asked Questions

التكامل يعكس الاشتقاق. قاعدة القوة للتكامل تزيد الأس بمقدار 1 وتقسم على الأس الجديد.

استخدم هذه القاعدة عند دمج دوال القوة من الشكل xⁿ حيث n هو أي عدد حقيقي. لاحظ أن هذه الصيغة المحددة تنطبق فقط عندما لا يكون الأس n مساويًا لـ -1، حيث تتطلب هذه الحالة حلاً لوغاريتميًا.

تعتبر هذه الصيغة حجر الزاوية في حساب التفاضل والتكامل المستخدم لحساب المساحات تحت المنحنيات، والشغل المنجز بواسطة القوى المتغيرة، وعزوم القصور الذاتي. وهي تسمح للمهندسين والعلماء بالانتقال من نماذج معدل التغير إلى نماذج التراكم الكلي.

تقليل القوة. الاستخدام لـ n=-1 (استخدم ln).

في سياق إيجاد الموضع من السرعة، تُستخدم معادلة تكامل x^n لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على ربط الحساب بالشكل أو معدل التغير أو الاحتمال أو القيد داخل النموذج.

أضف دائمًا ثابت التكامل C عند إجراء التكاملات غير المحددة. تحقق مما إذا كان الأس هو -1 قبل المتابعة لتجنب القسمة على صفر. حوّل علامات الجذر أو الكسور إلى أسس (على سبيل المثال، √x إلى x^0.5) قبل التكامل. تحقق من نتيجتك عن طريق اشتقاقها؛ يجب أن تعود إلى الدالة الأصلية.

References

Sources

  1. Stewart, Calculus: Early Transcendentals
  2. Thomas' Calculus
  3. Wikipedia: Antiderivative
  4. Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2016.
  5. Thomas, George B., et al. Thomas' Calculus. 14th ed. Pearson, 2018.
  6. Stewart Calculus Early Transcendentals
  7. Wikipedia: Power rule (calculus)
  8. Standard curriculum — A-Level Pure Mathematics