القيمة الحالية للمعاش الأبدي مع النمو

Core idea

Overview

إن صيغة القيمة الحالية للمعاش الأبدي مع النمو، والتي غالبًا ما تسمى نموذج جوردون للنمو، هي أداة أساسية في التمويل لتقييم الأصول التي يُتوقع أن تولد تدفقًا من التدفقات النقدية إلى أجل غير مسمى، مع نمو كل تدفق نقدي بمعدل ثابت. تقوم بخصم هذه التدفقات النقدية المستقبلية المتنامية إلى قيمتها الحالية، مما يوفر رقمًا واحدًا يمثل القيمة الحالية لتيار الدخل المستقبلي هذا. هذا النموذج مفيد بشكل خاص لتقييم الأسهم أو العقارات أو الشركات التي يُفترض أن لها عمرًا أبديًا ونموًا مستقرًا.

When to use: طبق هذه الصيغة عند تقييم أصل يُتوقع أن يولد تدفقات نقدية إلى أجل غير مسمى، ومن المتوقع أن تنمو هذه التدفقات النقدية بمعدل ثابت ومستقر. من الضروري أن يكون معدل الخصم (r) أكبر من معدل النمو (g) لكي تنتج الصيغة قيمة حالية ذات معنى ومحدودة. يُستخدم هذا النموذج بشكل شائع في تقييم الأسهم، خاصة للشركات الناضجة ذات النمو المتوقع.

Why it matters: هذه المعادلة حيوية للمستثمرين والمحللين الماليين لأنها توفر إطارًا نظريًا لتحديد القيمة الجوهرية للأصول المولدة للدخل. وتساعد في اتخاذ قرارات الاستثمار، وتقييم عدالة أسعار الأصول، وفهم تأثير معدلات النمو ومعدلات الخصم على التقييم. ويمتد تطبيقها إلى تمويل الشركات للميزانية الرأسمالية والتخطيط الاستراتيجي.

Symbols

Variables

$C_{1}$ = Cash Flow in Period 1, r = Discount Rate, g = Growth Rate, PV = Present Value

C_{1}

Cash Flow in Period 1

$

r

Discount Rate

%

g

Growth Rate

%

PV

Present Value

$

Walkthrough

Derivation

صيغة: القيمة الحالية للدخل المستمر مع النمو

يشتق صيغة القيمة الحالية لتدفقات نقدية لا نهائية تنمو بمعدل ثابت.

تنمو التدفقات النقدية بمعدل ثابت (g) إلى أجل غير مسمى.
معدل الخصم (r) ثابت وأكبر من معدل النمو (g).
يحدث التدفق النقدي الأول (C1) في نهاية الفترة الأولى.

1

تعريف القيمة الحالية كمجموع للتدفقات النقدية المخصومة:

القيمة الحالية (PV) هي مجموع جميع التدفقات النقدية المستقبلية، يتم خصم كل منها إلى الوقت الحاضر. C1 هو التدفق النقدي في الفترة الأولى، وينمو بمقدار (1+g) في كل فترة لاحقة.

P V = \frac{C _{1}}{( 1 + r ) ^{1}} + \frac{C _{1} ( 1 + g )}{( 1 + r ) ^{2}} + \frac{C _{1} ( 1 + g ) ^{2}}{( 1 + r ) ^{3}} + \dots

2

التحليل والتعرف على المتسلسلة الهندسية:

إخراج C1 كعامل مشترك. التعبير داخل الأقواس هو متسلسلة هندسية لا نهائية حيث الحد الأول هو a = 1/(1+r) والنسبة المشتركة هي x = (1+g)/(1+r).

P V = C_{1} [\frac{1}{1 + r} + \frac{1 + g}{( 1 + r ) ^{2}} + \frac{( 1 + g ) ^{2}}{( 1 + r ) ^{3}} + \dots]

3

تطبيق صيغة مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية:

مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية a + ax + ax^2 + ... هو a / (1-x)، بشرط أن يكون |x| < 1. هنا، الحد الأول هو C1/(1+r) والنسبة المشتركة هي (1+g)/(1+r). الشرط |x|<1 يعني أن r > g.

P V = \frac{C _{1} \cdot \frac{1}{1 + r}}{1 - \frac{1 + g}{1 + r}}

4

تبسيط التعبير:

تبسيط المقام بإيجاد مقام مشترك. تلغي حدود (1+r) في البسط والمقام للكسر الرئيسي بعضها البعض.

P V = \frac{C _{1} / ( 1 + r )}{\frac{( 1 + r ) - ( 1 + g )}{1 + r}} = \frac{C _{1} / ( 1 + r )}{\frac{r - g}{1 + r}}

5

الصيغة النهائية:

هذه هي الصيغة المبسطة للقيمة الحالية لدخل مستمر مع نمو، وتُعرف أيضًا بنموذج جوردون للنمو.

P V = \frac{C _{1}}{r - g}

Note: هذه الصيغة صالحة فقط عندما يكون معدل الخصم (r) أكبر تمامًا من معدل النمو (g).

Result

P V = \frac{C _{1}}{r - g}

Source: Brealey, Myers, and Allen, Principles of Corporate Finance, Chapter 2: Present Value and the Opportunity Cost of Capital

Free formulas

Rearrangements

Solve for $C_{1}$

اجعل C1 موضوع المعادلة

C_{1} = P V \cdot (r - g)

لجعل $C_{1}$ (التدفق النقدي في الفترة 1) موضوع المعادلة، اضرب كلا جانبي المعادلة في $(r - g)$ .

Difficulty: 2/5

Solve for $r$

القيمة الحالية للمعاش الأبدي مع النمو: اجعل r موضوع المعادلة

r = \frac{C _{1}}{P V} + g

لجعل $r$ (معدل الخصم) موضوع المعادلة، قم أولاً بعزل الحد $(r - g)$ ، ثم أضف $g$ إلى كلا الجانبين.

Difficulty: 3/5

Solve for $g$

القيمة الحالية للمعاش الأبدي مع النمو: اجعل g موضوع المعادلة

g = r - \frac{C _{1}}{P V}

لجعل $g$ (معدل النمو) هو الموضوع، قم أولاً بعزل الحد $(r - g)$ ، ثم اطرح $r$ واضربه في -1، أو أعد ترتيب الحدود.

Difficulty: 3/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

يشكل الرسم البياني قطعاً زائداً لأن معدل الخصم يظهر في المقام، مما يعني أن القيمة الحالية تتناقص مع زيادة معدل الخصم. بالنسبة لطالب الاقتصاد، يوضح هذا الشكل أن معدلات الخصم المرتفعة تقلل بشكل كبير من القيمة الحالية للتدفقات النقدية المستقبلية، بينما تؤدي معدلات الخصم الصغيرة جداً إلى ارتفاع القيمة الحالية بشكل حاد. الميزة الأكثر أهمية لهذا المنحنى هي أن القيمة الحالية لا تصل أبداً إلى الصفر، مما يعكس أنه حتى مع وجود معدل خصم مرتفع، فإن التدفق اللانهائي من التدفقات النقدية المتنامية يحتفظ ببعض القيمة الإيجابية.

Graph type: hyperbolic

Why it behaves this way

Intuition

تجمع الصيغة سلسلة لا نهائية من التدفقات النقدية المستقبلية، كل منها ينمو بمقدار 'g' ولكنه مخصوم بمقدار 'r'، حيث يضمن التأثير الصافي (r-g) تقارب المجموع إلى قيمة حالية محدودة، مثل قيمة متناقصة ولكنها لا تنتهي أبدًا.

Term

القيمة النقدية الحالية لتدفق لا نهائي من التدفقات النقدية المستقبلية.

كم تساوي دفعة دخل سنوية متزايدة إلى أجل غير مسمى اليوم. القيمة الحالية الأعلى تعني أن الأصل أكثر قيمة الآن.

Term

التدفق النقدي المتوقع الذي يتم استلامه في نهاية الفترة الأولى.

الدفع الأولي في السلسلة اللانهائية. زيادة

C_{1}

تزيد القيمة الحالية بشكل مباشر.

Term

معدل الخصم، الذي يمثل معدل العائد المطلوب أو تكلفة الفرصة البديلة لرأس المال.

المعدل الذي يتم به تقليل قيمة الأموال المستقبلية إلى ما يعادلها الحالي. معدل 'r' الأعلى يقلل القيمة الحالية، مما يعكس مخاطر أعلى أو بدائل استثمارية أفضل.

Term

المعدل الثابت الذي من المتوقع أن تنمو به التدفقات النقدية المستقبلية.

مدى سرعة زيادة الدخل في كل فترة. معدل 'g' الأعلى يزيد القيمة الحالية، حيث تكون المدفوعات المستقبلية أكبر.

Signs and relationships

r - g: يمثل الفرق 'r - g' معدل الخصم الفعال الصافي. معدل النمو 'g' يقلل من تأثير معدل الخصم 'r'، مما يجعل التدفقات النقدية المستقبلية أكثر قيمة نسبيًا.

Free study cues

Insight

Canonical usage

تتطلب هذه المعادلة وحدات نقدية متسقة للتدفقات النقدية والقيمة الحالية، ووحدات لا بُعد لها متسقة (كسور عشرية) لمعدلات الخصم والنمو، وذلك على نفس الفترة الزمنية.

Dimension note

معدل الخصم (r) ومعدل النمو (g) هما نسب لا بُعد لها، يتم التعبير عنها عادةً ككسور عشرية في الحسابات. يتم التعبير عن القيمة الحالية (PV) والتدفق النقدي ( $C_{1}$ ) بوحدات نقدية.

One free problem

Practice Problem

من المتوقع أن تدفع شركة أرباحًا قدرها 100 دولار العام المقبل، ومن المتوقع أن تنمو هذه الأرباح بمعدل ثابت قدره 5% إلى أجل غير مسمى. إذا كان معدل العائد المطلوب لهذا السهم هو 10%، فما هي القيمة الحالية لهذا المعاش الأبدي؟

Hint: تأكد من أن معدل الخصم أكبر من معدل النمو.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في سياق تقييم سهم يدفع أرباحًا بسياسة توزيع أرباح مستقرة ومتنامية، تُستخدم معادلة القيمة الحالية للمعاش الأبدي مع النمو لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على مقارنة الحوافز وآثار السياسات ونتائج الأسواق أو القرارات المالية.

Study smarter

Tips

تأكد من أن r > g؛ وإلا، فإن الصيغة ستؤدي إلى قيمة لانهائية أو سلبية، مما يشير إلى أن النموذج غير قابل للتطبيق.
C1 يمثل التدفق النقدي في نهاية الفترة الأولى، وليس الفترة الحالية (C0).
يجب التعبير عن كل من r و g ككسور عشرية (على سبيل المثال، 5% كـ 0.05).
يفترض النموذج نموًا ثابتًا وعمرًا غير محدود، وهي افتراضات قوية؛ استخدمه بحذر وفكر في طرق تقييم أخرى.

Avoid these traps

Common Mistakes

استخدام C0 بدلاً من C1 للتدفق النقدي الأولي.
تطبيق الصيغة عندما يكون r أقل من أو يساوي g.
عدم تحويل النسب المئوية إلى كسور عشرية لـ r و g قبل الحساب.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

يشتق صيغة القيمة الحالية لتدفقات نقدية لا نهائية تنمو بمعدل ثابت.

طبق هذه الصيغة عند تقييم أصل يُتوقع أن يولد تدفقات نقدية إلى أجل غير مسمى، ومن المتوقع أن تنمو هذه التدفقات النقدية بمعدل ثابت ومستقر. من الضروري أن يكون معدل الخصم (r) أكبر من معدل النمو (g) لكي تنتج الصيغة قيمة حالية ذات معنى ومحدودة. يُستخدم هذا النموذج بشكل شائع في تقييم الأسهم، خاصة للشركات الناضجة ذات النمو المتوقع.

هذه المعادلة حيوية للمستثمرين والمحللين الماليين لأنها توفر إطارًا نظريًا لتحديد القيمة الجوهرية للأصول المولدة للدخل. وتساعد في اتخاذ قرارات الاستثمار، وتقييم عدالة أسعار الأصول، وفهم تأثير معدلات النمو ومعدلات الخصم على التقييم. ويمتد تطبيقها إلى تمويل الشركات للميزانية الرأسمالية والتخطيط الاستراتيجي.

استخدام C0 بدلاً من C1 للتدفق النقدي الأولي. تطبيق الصيغة عندما يكون r أقل من أو يساوي g. عدم تحويل النسب المئوية إلى كسور عشرية لـ r و g قبل الحساب.

في سياق تقييم سهم يدفع أرباحًا بسياسة توزيع أرباح مستقرة ومتنامية، تُستخدم معادلة القيمة الحالية للمعاش الأبدي مع النمو لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على مقارنة الحوافز وآثار السياسات ونتائج الأسواق أو القرارات المالية.

تأكد من أن r > g؛ وإلا، فإن الصيغة ستؤدي إلى قيمة لانهائية أو سلبية، مما يشير إلى أن النموذج غير قابل للتطبيق. C1 يمثل التدفق النقدي في نهاية الفترة الأولى، وليس الفترة الحالية (C0). يجب التعبير عن كل من r و g ككسور عشرية (على سبيل المثال، 5% كـ 0.05). يفترض النموذج نموًا ثابتًا وعمرًا غير محدود، وهي افتراضات قوية؛ استخدمه بحذر وفكر في طرق تقييم أخرى.

References

Sources

Brealey, R. A., Myers, S. C., & Allen, F. (2020). Principles of Corporate Finance (13th ed.). McGraw-Hill Education.
Wikipedia: Gordon growth model
Principles of Corporate Finance by Brealey, Myers, Allen
Investments by Bodie, Kane, Marcus
Gordon growth model (Wikipedia article)
Bodie, Zvi, Alex Kane, and Alan J. Marcus. Investments. McGraw-Hill Education.
Brealey, Richard A., Stewart C. Myers, and Franklin Allen. Principles of Corporate Finance. McGraw-Hill Education.
Ross, Stephen A., Randolph W. Westerfield, and Jeffrey Jaffe. Corporate Finance. McGraw-Hill Education.

Overview

Variables

Derivation

تعريف القيمة الحالية كمجموع للتدفقات النقدية المخصومة:

التحليل والتعرف على المتسلسلة الهندسية:

تطبيق صيغة مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية:

تبسيط التعبير:

الصيغة النهائية:

Rearrangements

Graph

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Present Value of a Perpetuity

Dividend Discount Model

Future Value of an Annuity

Frequently Asked Questions

Sources