GeneralالاحتماليةGCSE
OCRAQABrevet (DNB)CambridgeCAPSCBSECCEACISCE

الاحتمال (الأحداث غير المتنافية)

يحسب احتمال وقوع الحدث أ أو الحدث ب عندما يمكن أن يحدث كلاهما.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough
Open Full WalkthroughTry Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

هذه الصيغة، التي تسمى غالبًا قاعدة الجمع للاحتمال، تحدد احتمالية وقوع حدث واحد على الأقل من حدثين (أو ب) عندما لا تكون هذه الأحداث متنافية، مما يعني أنها يمكن أن تحدث في نفس الوقت. وهي تجمع الاحتمالات الفردية لـ أ و ب، ثم تطرح احتمالية وقوع أ و ب معًا (P(A ∩ B)) لتجنب الحساب المزدوج للتداخل.

When to use: طبق هذه الصيغة عندما تحتاج إلى إيجاد احتمالية 'A أو B' وتعرف أن الحدثين A و B يمكن أن يحدثا في وقت واحد. هذا شائع في السيناريوهات التي تتضمن مجموعات متداخلة، مثل سحب البطاقات، أو تحليل بيانات المسح، أو التنبؤ بالنتائج حيث قد يتم استيفاء شروط متعددة.

Why it matters: فهم احتمالية الأحداث غير المتنافية أمر أساسي في الإحصاء، وتقييم المخاطر، واتخاذ القرار. يسمح بالتنبؤ الدقيق في الأنظمة المعقدة، من التشخيص الطبي (احتمالية الإصابة بالمرض X أو العرض Y) إلى النمذجة المالية (احتمالية ارتفاع سهم A أو انخفاض سهم B). وهو ضروري لتجنب المبالغة في تقدير الاحتمالات عندما تتداخل الأحداث.

Symbols

Variables

P(A) = Probability of Event A, P(B) = Probability of Event B, P(A B) = Probability of A and B, P(A B) = Probability of A or B

P(A)
Probability of Event A
Variable
P(B)
Probability of Event B
Variable
Probability of A and B
Variable
Probability of A or B
Variable

Walkthrough

Derivation

الصيغة: الاحتمال (الأحداث غير المتبادلة)

احتمال وقوع A أو B هو مجموع احتمالاتهما الفردية مطروحًا منها احتمال تقاطعهما لتصحيح العد المزدوج.

  • الأحداث A و B معرفة ضمن نفس فضاء العينة.
  • معروفة الاحتمالات P(A) و P(B) و P(A ∩ B).
1

ضع في اعتبارك مجموع الاحتمالات الفردية:

إذا جمعنا ببساطة احتمالات الحدث A والحدث B، فإننا نعد النتائج التي يحدث فيها كل من A و B مرتين (مرة كجزء من A ومرة كجزء من B).

2

تحديد التداخل:

يشير المصطلح P(A ∩ B) إلى احتمال وقوع كل من الحدث A والحدث B في نفس الوقت. هذا هو الجزء الذي تم عده مرتين في المجموع P(A) + P(B).

3

تصحيح العد المزدوج:

لإيجاد احتمال A أو B (P(A ∪ B))، نجمع P(A) و P(B)، ثم نطرح P(A ∩ B) مرة واحدة لإزالة العد الإضافي للنتائج المتداخلة. هذا يضمن عد كل نتيجة مرة واحدة بالضبط.

Result

Source: GCSE Mathematics Textbooks (e.g., AQA GCSE (9-1) Mathematics Higher Student Book)

Free formulas

Rearrangements

Solve for P(A)

اجعل P(A) موضوع المعادلة

أعد ترتيب المعادلة لجعل موضوع المعادلة.

Difficulty: 2/5

Solve for P(B)

اجعل P(B) موضوع المعادلة

أعد ترتيب المعادلة لجعل موضوع المعادلة.

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

الرسم البياني عبارة عن خط مستقيم بميل قدره واحد، مما يعني أن المخرجات تزداد بمعدل ثابت مع نمو احتمال الحدث A. بالنسبة للطالب، توضح هذه العلاقة الخطية أن قيمة x الصغيرة تمثل احتمالية منخفضة لوقوع الحدث A، بينما تشير قيمة x الكبيرة إلى احتمالية عالية لوقوع الحدث A. الميزة الأكثر أهمية هي أن الميل الثابت يوضح كيف أن كل زيادة تدريجية في احتمال الحدث A تؤدي إلى زيادة مماثلة في الاحتمال الإجمالي للحدث A أو الحدث B.

Graph type: linear

Why it behaves this way

Intuition

تخيل دائرتين متداخلتين (تمثلان الحدثين A و B) ضمن مستطيل أكبر (يمثل جميع النتائج الممكنة). تحسب الصيغة المساحة الإجمالية التي تغطيها كلتا الدائرتين عن طريق إضافة مساحاتهما الفردية

Term
احتمال وقوع الحدث A، أو وقوع الحدث B، أو وقوع كليهما.
يوضح هذا الحد (P(A B)) دوره داخل المعادلة، ويربط التعريف الرياضي بالتفسير العملي للنتيجة في هذا الموضع 70. الرموز المحفوظة: .
Term
الاحتمال الفردي لوقوع الحدث A.
يوضح هذا الحد (P(A)) دوره داخل المعادلة، ويربط التعريف الرياضي بالتفسير العملي للنتيجة في هذا الموضع 71.
Term
الاحتمال الفردي لوقوع الحدث B.
يوضح هذا الحد (P(B)) دوره داخل المعادلة، ويربط التعريف الرياضي بالتفسير العملي للنتيجة في هذا الموضع 72.
Term
احتمال وقوع كل من الحدث A والحدث B في نفس الوقت.
يوضح هذا الحد (P(A B)) دوره داخل المعادلة، ويربط التعريف الرياضي بالتفسير العملي للنتيجة في هذا الموضع 73. الرموز المحفوظة: .

Signs and relationships

  • - P(Acap B). الرموز: \cap.: توضح هذه العبارة سبب ظهور (- P(A B)) في الصيغة، وكيف يحافظ على اتجاه العلاقة أو مقدارها في هذا الموضع 74. الرموز المحفوظة: .

Free study cues

Insight

Canonical usage

جميع الحدود في هذه المعادلة تمثل احتمالات وهي كميات لا بُعدية، يُعبر عنها عادةً كأعداد حقيقية بين 0 و1.

Dimension note

الاحتمال هو بطبيعته كمية لا بُعدية، تمثل نسبة النتائج المفضلة إلى إجمالي النتائج الممكنة. لذلك، جميع الحدود في المعادلة لا بُعدية، والنتيجة أيضًا لا بُعدية.

One free problem

Practice Problem

في فصل دراسي، احتمالية أن يحب طالب الشوكولاتة (أ) هي 0.6، واحتمالية أن يحب الفانيليا (ب) هي 0.4. احتمالية أن يحب كلاهما هي 0.2. ما هي احتمالية أن يحب طالب تم اختياره عشوائيًا الشوكولاتة أو الفانيليا؟

Hint: تذكر طرح التداخل لتجنب الحساب المزدوج.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في سياق احتمالية اجتياز طالب لامتحان الرياضيات أو امتحان العلوم، تُستخدم معادلة الاحتمال (الأحداث غير المتنافية) لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على ربط الحساب بالشكل أو معدل التغير أو الاحتمال أو القيد داخل النموذج.

Study smarter

Tips

  • تصور الأحداث باستخدام مخطط فين لفهم التداخل (A ∩ B).
  • تذكر أن P(A ∪ B) يمثل 'A أو B أو كلاهما'.
  • إذا كانت الأحداث متنافية، فإن P(A ∩ B) = 0، وتتبسط الصيغة إلى P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
  • يجب أن تكون الاحتمالات دائمًا بين 0 و 1 (بما في ذلك).

Avoid these traps

Common Mistakes

  • نسيان طرح P(A ∩ B)، مما يؤدي إلى حساب التداخل مرتين.
  • الخلط بين الأحداث المتنافية والأحداث غير المتنافية.
  • حساب P(A ∩ B) بشكل غير صحيح أو افتراض أنه دائمًا P(A) * P(B) (وهو ما يصدق فقط على الأحداث المستقلة).

Common questions

Frequently Asked Questions

احتمال وقوع A أو B هو مجموع احتمالاتهما الفردية مطروحًا منها احتمال تقاطعهما لتصحيح العد المزدوج.

طبق هذه الصيغة عندما تحتاج إلى إيجاد احتمالية 'A أو B' وتعرف أن الحدثين A و B يمكن أن يحدثا في وقت واحد. هذا شائع في السيناريوهات التي تتضمن مجموعات متداخلة، مثل سحب البطاقات، أو تحليل بيانات المسح، أو التنبؤ بالنتائج حيث قد يتم استيفاء شروط متعددة.

فهم احتمالية الأحداث غير المتنافية أمر أساسي في الإحصاء، وتقييم المخاطر، واتخاذ القرار. يسمح بالتنبؤ الدقيق في الأنظمة المعقدة، من التشخيص الطبي (احتمالية الإصابة بالمرض X أو العرض Y) إلى النمذجة المالية (احتمالية ارتفاع سهم A أو انخفاض سهم B). وهو ضروري لتجنب المبالغة في تقدير الاحتمالات عندما تتداخل الأحداث.

نسيان طرح P(A ∩ B)، مما يؤدي إلى حساب التداخل مرتين. الخلط بين الأحداث المتنافية والأحداث غير المتنافية. حساب P(A ∩ B) بشكل غير صحيح أو افتراض أنه دائمًا P(A) * P(B) (وهو ما يصدق فقط على الأحداث المستقلة).

في سياق احتمالية اجتياز طالب لامتحان الرياضيات أو امتحان العلوم، تُستخدم معادلة الاحتمال (الأحداث غير المتنافية) لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على ربط الحساب بالشكل أو معدل التغير أو الاحتمال أو القيد داخل النموذج.

تصور الأحداث باستخدام مخطط فين لفهم التداخل (A ∩ B). تذكر أن P(A ∪ B) يمثل 'A أو B أو كلاهما'. إذا كانت الأحداث متنافية، فإن P(A ∩ B) = 0، وتتبسط الصيغة إلى P(A ∪ B) = P(A) + P(B). يجب أن تكون الاحتمالات دائمًا بين 0 و 1 (بما في ذلك).

References

Sources

  1. Wikipedia: Addition rule of probability
  2. Britannica: Probability
  3. Wikipedia: Probability
  4. Sheldon Ross, A First Course in Probability
  5. GCSE Mathematics Textbooks (e.g., AQA GCSE (9-1) Mathematics Higher Student Book)