Engineeringمدارات الذرات والجزيئاتUniversity
IBUndergraduate

الزخم الزاوي الكلي

مقدار الزخم الزاوي الكلي.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough
Open Full WalkthroughTry Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

مقدار الزخم الزاوي الكلي هو ħ sqrt(j(j+1)).

When to use: استخدم هذا عندما تحتاج إلى الأعداد الكمية للذرات الهيدروجينية أو صور الترابط البسيطة للذرات والجزيئات.

Why it matters: هذه هي القواعد القياسية للأعداد الكمية وراء تعبئة القشرة، والزخم الزاوي، وأشكال المدارات.

Symbols

Variables

J = J

J
Variable

Walkthrough

Derivation

اشتقاق مقدار الزخم الزاوي الكلي

يُشتق مقدار الزخم الزاوي الكلي من معادلة القيمة الذاتية لمؤثر مربع الزخم الزاوي J² في ميكانيكا الكم.

  • يتبع مؤثر الزخم الزاوي الكلي J علاقات التبادل الأساسية [, ] = iħ .
  • المؤثر التربيعي J² يتبادل مع كل مركبة (تحديدًا [J², ] = 0).
  • يُعرف مقدار مؤثر متجه في ميكانيكا الكم بـ |J| = sqrt(⟨J²⟩).
1

تعريف معادلة القيمة الذاتية

من جبر مؤثرات الزخم الزاوي (المشتق من جبر لاي su(2))، فإن القيم الذاتية للمؤثر التربيعي J² مقيدة بالصيغة j(j+1)ħ²، حيث j هو عدد الكم للزخم الزاوي الكلي.

Note: تنبع هذه النتيجة من شرط أن يكون فضاء تمثيل مجموعة الدوران محدود الأبعاد.

2

الربط بالمقدار

مقدار متجه الزخم الزاوي هو الجذر التربيعي للقيمة المتوقعة لـ J². وأخذ الجذر التربيعي للقيمة الذاتية مباشرةً يعطي الصيغة القياسية.

3

Simplify

استخراج الثابت ħ² من تحت الجذر التربيعي يُكمل التعبير.

Result

Source: Chemistry LibreTexts, angular momentum in the hydrogen atom, accessed 2026-04-09

Why it behaves this way

Intuition

يعرض التصور الهندسي العزم والطول من زاوية عملية؛ فالعلاقة تُقرأ كصورة تربط الكميات المؤثرة بطريقة تجعل تغير كل كمية ظاهرًا في استجابة النظام. يساعد ذلك على رؤية المسألة كحالة فيزيائية لها مدخلات ونتائج، لا كصيغة رمزية منفصلة عن معناها. خلاصة المصدر هنا: العزم والطول. لذلك يفيد النص في تمييز الكمية المقاسة عن معاملات القياس أو شروط التشغيل المحيطة بها.

Term
Magnitude لـ total angular momentum
يركز الرمز J على Magnitude لـ الكلي زاوية momentum في سياق اشتقاق magnitude لـ الكلي زاوية momentum. في الحساب يُعامل كمدخل يغير مستوى الاستجابة، لذلك تؤثر قيمته في قراءة المعادلة النهائية.
Term
معنى فيزيائي للرمز h.
عند ظهور h في اشتقاق magnitude لـ الكلي زاوية momentum فالمقصود تتبع دلالة الرمز h. فائدته أنه يحدد مساهمة هذا الجزء قبل جمعها مع بقية حدود النموذج.
Term
Total angular momentum quantum رقم
يدخل j في صيغة اشتقاق magnitude لـ الكلي زاوية momentum بوصفه مؤشرًا على الكلي زاوية momentum quantum رقم. تغييره يعيد توزيع الأثر بين الحدود ولا يكون مجرد معامل شكلي.

Signs and relationships

  • j(j+1): بالنسبة إلى j(j+1)، تحدد الإشارة اتجاه مساهمة الحد بالنسبة إلى المرجع أو الاصطلاح المستخدم في المعادلة. ويرتبط ذلك بـ العزم وبطريقة تعريف الحدود في المسألة. لذلك يجب استعمال الاصطلاح نفسه عند التعويض أو مقارنة الحالات حتى لا تنعكس دلالة الناتج. وتُحفظ الرموز كما في المصدر: .
  • sqrt: بالنسبة إلى sqrt، تحدد الإشارة اتجاه مساهمة الحد بالنسبة إلى المرجع أو الاصطلاح المستخدم في المعادلة. ويرتبط ذلك بـ العزم وبطريقة تعريف الحدود في المسألة. لذلك يجب استعمال الاصطلاح نفسه عند التعويض أو مقارنة الحالات حتى لا تنعكس دلالة الناتج. خلاصة المصدر هنا: العزم.

One free problem

Practice Problem

كيف يتناسب مقدار الزخم الزاوي الكلي مع زيادة العدد الكمي j؟

Hint: انظر إلى الصيغة J = ħ√j(j+1).

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في سياق قراءة مقدار حالة الزخم الزاوي ذات البنية الدقيقة، تُستخدم معادلة الزخم الزاوي الكلي لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على فحص أبعاد التصميم أو الأداء أو هامش الأمان قبل الاعتماد على النتيجة.

Study smarter

Tips

  • J هو المجموع المتجهي للزخم الزاوي المداري والدوران.
  • العدد الكمي j يُسمي مقادير الزخم الزاوي المسموح بها.
  • لا تزال مركبة z مُكمّاة بشكل منفصل كـ ħ.

Avoid these traps

Common Mistakes

  • الخلط بين اتجاه المدار وطاقة المدار.
  • تجاهل الدوران عند حساب عدد الحالات المتاحة.
  • الخلط بين مقدار الزخم الزاوي ومكونه z.

Common questions

Frequently Asked Questions

يُشتق مقدار الزخم الزاوي الكلي من معادلة القيمة الذاتية لمؤثر مربع الزخم الزاوي J² في ميكانيكا الكم.

استخدم هذا عندما تحتاج إلى الأعداد الكمية للذرات الهيدروجينية أو صور الترابط البسيطة للذرات والجزيئات.

هذه هي القواعد القياسية للأعداد الكمية وراء تعبئة القشرة، والزخم الزاوي، وأشكال المدارات.

الخلط بين اتجاه المدار وطاقة المدار. تجاهل الدوران عند حساب عدد الحالات المتاحة. الخلط بين مقدار الزخم الزاوي ومكونه z.

في سياق قراءة مقدار حالة الزخم الزاوي ذات البنية الدقيقة، تُستخدم معادلة الزخم الزاوي الكلي لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على فحص أبعاد التصميم أو الأداء أو هامش الأمان قبل الاعتماد على النتيجة.

J هو المجموع المتجهي للزخم الزاوي المداري والدوران. العدد الكمي j يُسمي مقادير الزخم الزاوي المسموح بها. لا تزال مركبة z مُكمّاة بشكل منفصل كـ m_j ħ.

References

Sources

  1. Chemistry LibreTexts, hydrogen atom, angular momentum, and bonding orbitals chapters, accessed 2026-04-09
  2. Chemistry LibreTexts, bonding and antibonding orbitals, accessed 2026-04-09
  3. Chemistry LibreTexts, angular momentum in the hydrogen atom, accessed 2026-04-09
  4. NIST CODATA
  5. IUPAC Gold Book
  6. Atomic and molecular orbital - Wikipedia
  7. Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics
  8. Sakurai, J. J., & Napolitano, Jim. Modern Quantum Mechanics