معيار خضوع تريسيكا (نظرية إجهاد القص الأقصى) | Equation, Derivation and Rearrangements

Core idea

Overview

ينص معيار خضوع تريسيكا، المعروف أيضًا بنظرية إجهاد القص الأقصى، على أن خضوع المادة المطيلية يبدأ عندما يصل إجهاد القص الأقصى في المادة إلى قيمة حرجة. تُعرّف هذه القيمة الحرجة على أنها نصف قوة الخضوع ($\sigma_y$) التي تم الحصول عليها من اختبار شد أحادي بسيط. يتم التعبير عنها بالصيغة $\tau_{max} = (\sigma_1 - \sigma_3)/2 = \sigma_y/2$، حيث $\sigma_1$ و $\sigma_3$ هما الإجهادان الرئيسيان الأقصى والأدنى على التوالي. غالبًا ما يستخدم هذا المعيار للمواد المطيلية ويوفر تقديرًا متحفظًا للخضوع مقارنة بمعيار فون ميزس.

When to use: استخدم هذا المعيار للتنبؤ ببدء خضوع المواد المطيلية تحت حالات إجهاد معقدة، خاصة عندما يكون النهج التصميمي المتحفظ مفضلًا. ينطبق بشكل خاص عندما تهيمن إجهادات القص على سلوك المادة، مثل في اللي أو أوعية الضغط ذات الجدران الرقيقة.

Why it matters: التنبؤ بخضوع المادة أمر بالغ الأهمية لضمان السلامة الهيكلية ومنع الفشل الكارثي للمكونات الهندسية. يسمح معيار تريسيكا للمهندسين بتصميم أجزاء يمكنها تحمل الأحمال المطبقة بأمان دون تشوه دائم، وهو أمر حيوي في مجالات مثل الهندسة الميكانيكية والمدنية والفضائية للمكونات التي تتراوح من الأعمدة إلى أوعية الضغط.

Symbols

Variables

$τ_{ma x}$ = Maximum Shear Stress, $σ_{1}$ = Maximum Principal Stress, $σ_{3}$ = Minimum Principal Stress, $σ_{y}$ = Yield Strength (Uniaxial)

τ_{ma x}

Maximum Shear Stress

MPa

σ_{1}

Maximum Principal Stress

MPa

σ_{3}

Minimum Principal Stress

MPa

σ_{y}

Yield Strength (Uniaxial)

MPa

Walkthrough

Derivation

الصيغة: معيار تراسكا للإنفعال

ينص معيار تراسكا للإنفعال على أن الإنفعال يحدث عندما يصل أقصى إجهاد قص في مادة إلى نصف قوة إنفعالها أحادية المحور.

المادة قابلة للتشوه المطيل (ductile).
تظهر المادة سلوكًا متجانسًا (الخصائص موحدة في جميع الاتجاهات).
قوة إنفعال المادة في الضغط تساوي قوة إنفعالها في الشد.

1

دائرة مور لإجهاد القص:

لأي حالة إجهاد ثلاثية الأبعاد عامة، يحدث أقصى إجهاد قص ( $τ_{ma x}$ ) على مستويات بزاوية 45 درجة مع المستويات الرئيسية وهو يساوي نصف الفرق بين أقصى ( $σ_{1}$ ) وأدنى ( $σ_{3}$ ) إجهاد رئيسي. هذه نتيجة أساسية من تحليل دائرة مور.

τ_{ma x} = \frac{σ _{1} - σ _{3}}{2}

2

اختبار الشد أحادي المحور:

ضع في اعتبارك اختبار شد بسيط أحادي المحور حيث تنفعل المادة عند إجهاد $σ_{y}$ . في هذه الحالة، الإجهادات الرئيسية هي $σ_{1} = σ_{y}$ ، $σ_{2} = 0$ ، و $σ_{3} = 0$ . تطبيق صيغة أقصى إجهاد قص من دائرة مور على هذه الحالة يعطي $τ_{ma x, y i e l d} = \frac{σ _{y} - 0}{2} = \frac{σ _{y}}{2}$ .

σ_{1} = σ_{y}, σ_{2} = 0, σ_{3} = 0

3

صياغة معيار تراسكا:

يفترض معيار تراسكا أن الإنفعال في أي حالة إجهاد عامة سيحدث عندما يصل أقصى إجهاد قص ( $τ_{ma x}$ ) في تلك الحالة إلى نفس القيمة الحرجة التي لوحظت أثناء الإنفعال أحادي المحور. لذلك، فإن شرط الإنفعال هو $\frac{σ _{1} - σ _{3}}{2} = \frac{σ _{y}}{2}$ .

τ_{ma x} = \frac{σ _{1} - σ _{3}}{2} = \frac{σ _{y}}{2}

Result

τ_{ma x} = \frac{σ _{1} - σ _{3}}{2} = \frac{σ _{y}}{2}

Source: Beer, F. P., Johnston Jr., E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. (2012). Mechanics of Materials (6th ed.). McGraw-Hill. Chapter 8: Theories of Failure.

Visual intuition

Graph

الرسم البياني خط مستقيم ذو ميل موجب، مما يشير إلى أن إجهاد القص الأقصى يزداد بثبات مع زيادة الإجهاد الرئيسي الأقصى. وبالنسبة إلى طالب الهندسة، تعني هذه العلاقة الخطية أن مضاعفة الإجهاد الرئيسي الأقصى تؤدي إلى زيادة متناسبة في إجهاد القص الأقصى، مما يبرز كيف تؤثر حالات الإجهاد مباشرةً في فشل المادة. وأهم سمة لهذا المنحنى هي أن العلاقة الثابتة بين المتغيرات تبقى دون تغيير بغض النظر عن مقدار الإجهادات، مما يوضح انتقالًا متوقعًا ومتسقًا نحو حد الخضوع.

Graph type: linear

Why it behaves this way

Intuition

تصور معيار تراسكا للإنفعال على أنه يحدث عندما يصل نصف قطر أكبر دائرة مور (التي تمثل أقصى إجهاد قص)

Term

أقصى إجهاد قص يتعرض له داخل المادة

هذه هي أكبر قوة 'قطع' أو 'انزلاق' لكل وحدة مساحة تعمل داخلياً. عندما تتجاوز قيمة حرجة، تنفعل المادة.

Term

أقصى إجهاد رئيسي

أكبر إجهاد طبيعي (شد أو ضغط) يعمل على مستوى يكون فيه إجهاد القص صفرًا. يمثل أقصى قوة سحب أو دفع داخل المادة.

Term

أدنى إجهاد رئيسي

أصغر إجهاد طبيعي (شد أو ضغط) يعمل على مستوى يكون فيه إجهاد القص صفرًا. يمثل أقل قوة سحب أو دفع داخل المادة.

Term

قوة الإنفعال للمادة من اختبار شد أحادي المحور

مستوى الإجهاد الذي تبدأ عنده المادة في التشوه بلاستيكياً (بشكل دائم) عند سحبها في اتجاه واحد. يعمل هذا كمقياس لحد قوة المادة قبل التشوه الدائم.

Signs and relationships

(\sigma_1 - \sigma_3): يمثل هذا الفرق قطر أكبر دائرة مور لحالة الإجهاد المعطاة. يشير فرق أكبر إلى نطاق أكبر من الإجهادات الطبيعية، والذي يتوافق مباشرة مع أقصى إجهاد قص أكبر
/2: قسمة الفرق بين أقصى وأدنى إجهاد رئيسي على اثنين يعطي نصف قطر أكبر دائرة مور، وهو بالضبط أقصى إجهاد قص.

Free study cues

Insight

Canonical usage

تمثل جميع الحدود في معيار تريسكا الإجهاد ويجب التعبير عنها بوحدات متسقة من القوة لكل وحدة مساحة للحفاظ على التجانس البعدي.

Dimension note

هذه المعادلة ليست بلا أبعاد؛ إنها علاقة بين كميات الإجهاد.

Ballpark figures

Quantity:

Where it shows up

Real-World Context

يجب على المهندسين الذين يصممون مجموعات عجلات الأفعوانية التأكد من أن المحاور الفولاذية لا تتعرض لتشوه دائم أثناء الانعطافات عالية القوة G. من خلال حساب الإجهادات الناتجة عن وزن القطار والقوى الطاردة المركزية، يتأكدون من بقاء مادة المحور ضمن حد المرونة الخاص بها.

Study smarter

Tips

حدد دائمًا الإجهادات الرئيسية ( $σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}$ ) بشكل صحيح وتأكد من $σ_{1} \geq σ_{2} \geq σ_{3}$ لحساب إجهاد القص الأقصى بدقة.
معيار تريسيكا بشكل عام أكثر تحفظًا من معيار فون ميزس، مما يعني أنه يتنبأ بالخضوع عند مستويات إجهاد أقل.
تذكر أن $σ_{y}$ هي قوة الخضوع من اختبار شد أحادي.
تأكد من اتساق الوحدات لجميع قيم الإجهاد.

Common questions

Frequently Asked Questions

ينص معيار تراسكا للإنفعال على أن الإنفعال يحدث عندما يصل أقصى إجهاد قص في مادة إلى نصف قوة إنفعالها أحادية المحور.

استخدم هذا المعيار للتنبؤ ببدء خضوع المواد المطيلية تحت حالات إجهاد معقدة، خاصة عندما يكون النهج التصميمي المتحفظ مفضلًا. ينطبق بشكل خاص عندما تهيمن إجهادات القص على سلوك المادة، مثل في اللي أو أوعية الضغط ذات الجدران الرقيقة.

التنبؤ بخضوع المادة أمر بالغ الأهمية لضمان السلامة الهيكلية ومنع الفشل الكارثي للمكونات الهندسية. يسمح معيار تريسيكا للمهندسين بتصميم أجزاء يمكنها تحمل الأحمال المطبقة بأمان دون تشوه دائم، وهو أمر حيوي في مجالات مثل الهندسة الميكانيكية والمدنية والفضائية للمكونات التي تتراوح من الأعمدة إلى أوعية الضغط.

يجب على المهندسين الذين يصممون مجموعات عجلات الأفعوانية التأكد من أن المحاور الفولاذية لا تتعرض لتشوه دائم أثناء الانعطافات عالية القوة G. من خلال حساب الإجهادات الناتجة عن وزن القطار والقوى الطاردة المركزية، يتأكدون من بقاء مادة المحور ضمن حد المرونة الخاص بها.

حدد دائمًا الإجهادات الرئيسية ($\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$) بشكل صحيح وتأكد من $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$ لحساب إجهاد القص الأقصى بدقة. معيار تريسيكا بشكل عام أكثر تحفظًا من معيار فون ميزس، مما يعني أنه يتنبأ بالخضوع عند مستويات إجهاد أقل. تذكر أن $\sigma_y$ هي قوة الخضوع من اختبار شد أحادي. تأكد من اتساق الوحدات لجميع قيم الإجهاد.

References

Sources

Mechanics of Materials by Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston Jr., John T. DeWolf, and David F. Mazurek
Mechanics of Materials by R. C. Hibbeler
Wikipedia: Tresca criterion
Shigley's Mechanical Engineering Design
Mechanics of Materials (Hibbeler)
Wikipedia: Tresca yield criterion
Mechanics of Materials by Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek
Fundamentals of Machine Component Design by Juvinall and Marshek