معامل يونغ | Equation, Derivation and Rearrangements

Core idea

Overview

يحدد معامل يونغ، المعروف أيضًا باسم معامل المرونة، صلابة المادة الصلبة من خلال تحديد العلاقة بين إجهاد الشد أو الضغط والانفعال المحوري. ويمثل ميل منطقة المرونة الخطية على منحنى الإجهاد-الانفعال، مما يشير إلى مدى تشوه المادة مرونة تحت حمل معين.

When to use: طبق هذه المعادلة عندما تخضع المادة لتشوه مرن، مما يعني أنها ستعود إلى شكلها الأصلي بمجرد إزالة الحمل. وهي صالحة فقط ضمن الجزء الخطي من منحنى الإجهاد-الانفعال، وتحديداً قبل أن تصل المادة إلى حد التناسب الخاص بها.

Why it matters: تسمح هذه القيمة للمهندسين بالتنبؤ بكيفية انحراف المكونات الهيكلية مثل العوارض وكابلات الجسور أو أجنحة الطائرات تحت أحمال التشغيل. اختيار المواد ذات المعامل المناسب أمر بالغ الأهمية لضمان الاستقرار الميكانيكي ومنع الانهيار الهيكلي أو الاهتزاز المفرط.

Symbols

Variables

E = Young's Modulus, $σ$ = Stress, $ϵ$ = Strain

E

Young's Modulus

Pa

σ

Stress

Pa

ϵ

Strain

Variable

Walkthrough

Derivation

اشتقاق معامل يونغ

يقيس معامل يونغ E الصلابة. في المنطقة المرنة الخطية، هو النسبة الثابتة للإجهاد إلى الانفعال.

المادة تتبع قانون هوك (سلوك مرن خطي).
لم يتم تجاوز حد التناسب.

1

اذكر التعريف في المنطقة الخطية:

معامل يونغ يساوي الإجهاد مقسومًا على الانفعال في المنطقة المرنة الخطية.

E = \frac{σ}{ε}

2

استبدال الإجهاد والانفعال:

استبدل $σ$ بـ $F / A$ و $ε$ بـ $Δ L / L$ .

E = \frac{( \frac{F}{A} )}{( \frac{Δ L}{L} )}

3

إعادة الترتيب:

هذا الشكل مناسب لحساب E مباشرة من القياسات التجريبية.

E = \frac{F L}{A Δ L}

Result

E = \frac{F L}{A Δ L}

Source: AQA A-Level Physics — Materials

Free formulas

Rearrangements

Solve for $σ$

اجعل sigma موضوع المعادلة

σ = E ϵ

أعد ترتيب صيغة معامل يونج للتعبير عن الإجهاد ( $σ$ ) بدلالة معامل يونج ( $E$ ) والإجهاد ( $ϵ$ ).

Difficulty: 2/5

Solve for $ϵ$

اجعل epsilon موضوع المعادلة

ϵ = \frac{σ}{E}

ابدأ من صيغة معامل يونج. لعمل إجهاد ( $ϵ$ ) للموضوع، قم أولاً بضرب كلا الطرفين في $ϵ$ لمسح المقام، ثم اقسم على معامل يونج ( $E$ ).

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

Graph type: hyperbolic

Why it behaves this way

Intuition

يمثل معامل يونغ ميل الجزء الخطي الأولي من منحنى الإجهاد والانفعال، حيث يتم رسم الإجهاد على المحور الصادي والانفعال على المحور السيني.

Term

المقاومة المتأصلة للمادة للتشوه المرن تحت التحميل المحوري.

'E' عالية تعني أن المادة صلبة وتتطلب قوة كبيرة لمدها أو ضغطها بشكل كبير؛ 'E' منخفضة تعني أنها أكثر مرونة أو امتثالًا.

Term

القوة الاستعادة الداخلية لكل وحدة مساحة مقطع عرضي داخل مادة، تتولد استجابةً لحمل خارجي.

إنها 'شدة' القوة الموزعة على المقطع العرضي للمادة. مزيد من القوة المطبقة على مساحة أصغر ينتج عنها إجهاد أعلى.

Term

التغير النسبي في الطول (التشوه) لمادة بالنسبة لطولها الأصلي، مما يشير إلى مقدار تمددها أو انضغاطها.

إنه مقياس بدون أبعاد لمدى تشوه المادة، معبراً عنه كنسبة مئوية أو جزء من حجمها الأصلي.

Signs and relationships

ε (in the denominator): الانفعال في المقام لأن معامل يونغ يقيس الإجهاد المطلوب لتحقيق وحدة انفعال. المادة التي تعاني من انفعال كبير لحمل معين لديها معامل يونغ منخفض (إنها أقل صلابة).

Free study cues

Insight

Canonical usage

يُعبر عن معامل يونغ عادةً بوحدات الضغط، حيث يمثل نسبة الإجهاد (الضغط) إلى الانفعال اللابعدي.

Dimension note

الانفعال (ε) هو كمية لا بعدية، تمثل نسبة أطوال (التغير في الطول / الطول الأصلي).

Ballpark figures

Quantity:

One free problem

Practice Problem

يتعرض قضيب فولاذي لإجهاد شد يبلغ 200,000,000 باسكال، مما ينتج عنه انفعال طولي قدره 0.001. احسب معامل يونغ للفولاذ.

Hint: اقسم الإجهاد على الانفعال.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في سياق مقارنة صلابة الفولاذ مقابل الألومنيوم، تُستخدم معادلة معامل يونغ لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على فحص أبعاد التصميم أو الأداء أو هامش الأمان قبل الاعتماد على النتيجة.

Study smarter

Tips

تأكد من أن الإجهاد ومعامل يونغ يستخدمان نفس الوحدات، وعادةً ما تكون باسكال (Pa) أو نيوتن لكل متر مربع (N/m²).
تذكر أن الانفعال هو نسبة بلا أبعاد، لذا ليس له وحدات.
تفترض هذه العلاقة الخطية أن المادة متجانسة ومتجانسة الخواص.
تشير القيم الأعلى لـ E إلى مادة أكثر صلابة تقاوم التشوه بشكل أكثر فعالية.

Avoid these traps

Common Mistakes

استخدام بيانات المنطقة البلاستيكية.
خلط وحدات الإجهاد.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

يقيس معامل يونغ E الصلابة. في المنطقة المرنة الخطية، هو النسبة الثابتة للإجهاد إلى الانفعال.

طبق هذه المعادلة عندما تخضع المادة لتشوه مرن، مما يعني أنها ستعود إلى شكلها الأصلي بمجرد إزالة الحمل. وهي صالحة فقط ضمن الجزء الخطي من منحنى الإجهاد-الانفعال، وتحديداً قبل أن تصل المادة إلى حد التناسب الخاص بها.

تسمح هذه القيمة للمهندسين بالتنبؤ بكيفية انحراف المكونات الهيكلية مثل العوارض وكابلات الجسور أو أجنحة الطائرات تحت أحمال التشغيل. اختيار المواد ذات المعامل المناسب أمر بالغ الأهمية لضمان الاستقرار الميكانيكي ومنع الانهيار الهيكلي أو الاهتزاز المفرط.

استخدام بيانات المنطقة البلاستيكية. خلط وحدات الإجهاد.

في سياق مقارنة صلابة الفولاذ مقابل الألومنيوم، تُستخدم معادلة معامل يونغ لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على فحص أبعاد التصميم أو الأداء أو هامش الأمان قبل الاعتماد على النتيجة.

تأكد من أن الإجهاد ومعامل يونغ يستخدمان نفس الوحدات، وعادةً ما تكون باسكال (Pa) أو نيوتن لكل متر مربع (N/m²). تذكر أن الانفعال هو نسبة بلا أبعاد، لذا ليس له وحدات. تفترض هذه العلاقة الخطية أن المادة متجانسة ومتجانسة الخواص. تشير القيم الأعلى لـ E إلى مادة أكثر صلابة تقاوم التشوه بشكل أكثر فعالية.

References

Sources

Mechanics of Materials by Beer, Johnston, DeWolf, and Mazurek
Wikipedia: Young's modulus
Bird, R. B., Stewart, W. E., & Lightfoot, E. N. (2007). Transport Phenomena (2nd ed.). John Wiley & Sons.
Incropera, F. P., DeWitt, D. P., Bergman, T. L., & Lavine, A. S. (2007). Fundamentals of Heat and Mass Transfer (6th ed.).
IUPAC Gold Book: 'modulus of elasticity' (https://goldbook.iupac.org/terms/view/M03964)
Wikipedia: 'Young's modulus' (https://en.wikipedia.org/wiki/Young%27s_modulus)
Callister, W. D., & Rethwisch, D. G. Materials Science and Engineering: An Introduction
Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. Mechanics of Materials