دالة الطلب المعوض (هيكسيان) - Study Guide | Wiki

Core idea

Overview

تصف دالة الطلب المعوض (هيكسيان)، المشتقة من مبرهنة شيبرد، كمية السلعة التي يطلبها المستهلك لتحقيق مستوى معين من المنفعة، بافتراض أن دخله 'معوّض' عن تغيرات الأسعار. على عكس طلب مارشال، يعزل الطلب الهيكسياني تأثير الاستبدال عن طريق إبقاء المنفعة ثابتة، مما يجعله مفهومًا حاسمًا في اقتصاد الرفاهية لتحليل التكلفة الحقيقية للمعيشة وتأثير تغيرات الأسعار على رفاهية المستهلك، بمعزل عن تأثيرات الدخل.

When to use: تستخدم هذه الصيغة في الاقتصاد الجزئي لاشتقاق دالة الطلب الهيكسياني لسلعة ما عندما تكون دالة الإنفاق معروفة. وهي ضرورية لتحليل سلوك المستهلك تحت افتراض المنفعة الثابتة، خاصة عند فصل تأثيرات الاستبدال عن تأثيرات الدخل لتغيرات الأسعار، أو لتحليل الرفاهية.

Why it matters: يعد فهم طلب هيكسيان أمرًا أساسيًا لنظرية المستهلك المتقدمة واقتصاد الرفاهية. فهو يسمح للاقتصاديين بقياس تأثير الرفاهية لتغيرات الأسعار بدقة (على سبيل المثال، باستخدام التعويض المتغير أو التكافؤ المتغير) وبناء مؤشرات حقيقية لتكلفة المعيشة، مما يوفر صورة أكثر دقة لرفاهية المستهلك من طلب مارشال القياسي.

Why it makes sense

Intuition

تخيل مستهلكًا يحاول البقاء على 'خط منحنى السعادة' المحدد (منحنى سواء) على خريطة خيارات الاستهلاك. الطلب هيكسي للسلعة يوضح مقدار تلك السلعة التي سيختارها بأسعار مختلفة

Symbols

Variables

$p$ = Price Vector, u = Utility Level, e = Expenditure Function, $p_{i}$ = Price of Good i, $h_{i}$ = Hicksian Demand for Good i

p

Price Vector

currency/unit

u

Utility Level

utils

e

Expenditure Function

currency

p_{i}

Price of Good i

currency/unit

h_{i}

Hicksian Demand for Good i

units

Walkthrough

Derivation

الصيغة: دالة الطلب المعوضة (هيكسية) (لمّا شيبرد)

يتم العثور على الطلب هيكسي للسلعة عن طريق أخذ المشتقة الجزئية لدالة الإنفاق فيما يتعلق بسعر تلك السلعة.

تفضيلات المستهلك عقلانية وكاملة ومتعدية.
دالة الإنفاق $e (p, u)$ قابلة للاشتقاق فيما يتعلق بالأسعار.
يقلل المستهلك الإنفاق لتحقيق مستوى معين من المنفعة $u$ .

1

تعريف دالة الإنفاق:

تمثل دالة الإنفاق $e (p, u)$ الحد الأدنى للإنفاق المطلوب لتحقيق مستوى منفعة $u$ بالنظر إلى متجه أسعار $p$ للسلع $x$ . هذه مشكلة تحسين مقيدة.

e (p, u) = x min {p \cdot x ∣ U (x) \geq u}

2

تطبيق نظرية الغلاف (لمّا شيبرد):

وفقًا لـ لمّا شيبرد، وهي تطبيق مباشر لنظرية الغلاف، فإن المشتقة الجزئية لدالة الإنفاق فيما يتعلق بسعر السلعة $i$ ( $p_{i}$ ) تنتج دالة الطلب هيكسي (المعوضة) للسلعة $i$ ، $h_{i} (p, u)$ . هذا يعني أن كمية السلعة $i$ المطلوبة للحفاظ على مستوى منفعة ثابت $u$ هي بالضبط معدل تغير الحد الأدنى للإنفاق بالنسبة لـ $p_{i}$ .

h_{i} (p, u) = \frac{\partial e ( p , u )}{\partial p _{i}}

Result

h_{i} (p, u) = \frac{\partial e ( p , u )}{\partial p _{i}}

Source: Shephard, R. W. (1953). Cost and Production Functions. Princeton University Press. (Formal proof of Shephard's Lemma)

Free formulas

Rearrangements

Solve for $p$

الطلب الهيكسي: اجعل $p$ موضوع المعادلة

No direct algebraic rearrangement for p

إن جعل $p$ (ناقل السعر) موضوع دالة الطلب الهيكسية غير ممكن بشكل عام من خلال إعادة ترتيب جبرية بسيطة، حيث أنه مضمن في مشتق جزئي ووظيفة الإنفاق.

Difficulty: 4/5

Solve for $u$

الطلب الهيكسي: اجعل $u$ موضوع المعادلة

No direct algebraic rearrangement for u

إن جعل $u$ (مستوى المنفعة) موضوع دالة الطلب الهيكسية ليس ممكنًا بشكل عام من خلال إعادة ترتيب جبرية بسيطة، حيث إنه مدخل إلى دالة الإنفاق والمشتق.

Difficulty: 4/5

Solve for $e$

الطلب الهيكسي: اجعل $e$ موضوع المعادلة

e (p, u) = \int h_{i} (p, u) d p_{i} + C (p_{- i}, u)

يتطلب جعل $e (p, u)$ (دالة الإنفاق) الموضوع دمج دالة الطلب الهيكسية، وهي العملية العكسية للتمايز، وليس إعادة ترتيب جبرية بسيطة.

Difficulty: 4/5

Solve for $p_{i}$

الطلب الهيكسي: اجعل $p_{i}$ موضوع المعادلة

No direct algebraic rearrangement for p_{i}

إن جعل $p_{i}$ (سعر السلعة i) موضوع دالة الطلب الهيكسية غير ممكن بشكل عام من خلال إعادة ترتيب جبرية بسيطة، حيث أنه متغير التمايز ومدخل لوظيفة الإنفاق.

Difficulty: 4/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Free study cues

Insight

Canonical usage

تُستخدم هذه المعادلة لضمان الاتساق البعدي، حيث يُشتق الطلب الهيكسي لسلعة، والذي يمثل كمية، من المشتقة الجزئية لدالة الإنفاق (وحدات نقدية)

One free problem

Practice Problem

بالنظر إلى دالة إنفاق $e (p, u) = u p_{1} p_{2}$ ، حيث $p_{1}$ و $p_{2}$ هما سعري سلعتين و $u$ هو مستوى المنفعة. استنتج دالة الطلب الهيكسياني للسلعة 1، $h_{1} (p, u)$ .

Hint: طبق قاعدة المشتق الجزئي: $\frac{\partial}{\partial x} (a x^{n}) = an x^{n - 1}$ وقاعدة السلسلة إذا لزم الأمر.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في سياق حساب الطلب المعوض على البنزين للحفاظ على مستوى معين من منفعة نمط الحياة على الرغم من تقلبات أسعار الوقود، تُستخدم معادلة دالة الطلب المعوض (هيكسيان) لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على مقارنة الحوافز وآثار السياسات ونتائج الأسواق أو القرارات المالية.

Cross-subject links

Connections

Abstract form: f(x) = ∂F/∂x (مشتقة دالة جهد/كمية قياسية بالنسبة لمعامل)

Gibbs-Duhem Equation

Chemistrydφ = ∂Φ/∂x dx (حساسية تفاضلية)

في الاقتصاد، يعتبر طلب هيكسيان مشتقة دالة الإنفاق بالنسبة للسعر، مما يمثل 'حساسية' التكلفة لتغيرات الأسعار. وبالمثل، في الديناميكا الحرارية، الجهد الكيميائي هو مشتقة طاقة جيبس الحرة بالنسبة لعدد المولات، مما يمثل حساسية الطاقة لتغيرات التركيب.

Teaching hook: اشرح أنه في كلتا الحالتين، فإن اشتقاق دالة 'إجمالية' (الإنفاق أو طاقة جيبس الحرة) يكشف عن القيمة 'الحدية' الأساسية لمكون واحد.

Gradient Descent Step

Data & ComputingΔy = ∂J/∂θ (حساسية التدرج)

دالة الطلب المعوض هي تدرج دالة الإنفاق بالنسبة للسعر، وتخبرنا بكيفية تعديل الإنفاق للحفاظ على ثبات المنفعة. كما يستخدم انحدار التدرج أيضاً تدرج دالة الخسارة لتحديد كيفية تعديل المعاملات لتقليل الخطأ.

Teaching hook: استخدم فكرة 'الانحدار الأكثر حدة' على تضاريس معينة لتوضيح للطلاب كيف تعمل المشتقة كبوصلة توجيهية لتحسين كل من ميزانيات الأسرة ونماذج تعلم الآلة.

Backpropagation (Chain Rule)

Data & Computingy = ∂L/∂x (رسم خرائط المشتقات الجزئية)

تقوم دالة طلب هيكسيان بربط التغير في السعر بالتغير في الكمية المثلى عبر دالة الإنفاق. ويستخدم الانتشار العكسي قاعدة السلسلة لربط التغيرات في أوزان المخرجات بإشارات المدخلات من خلال حساب المشتقات الجزئية عبر الطبقات.

Teaching hook: سلط الضوء على أننا في كلتا الحالتين نستخدم حساب التغيرات لفهم كيفية مساهمة المتغيرات الفردية في النتيجة العالمية لنظام معقد.

Avoid these traps

Common Mistakes

الخلط بين طلب هيكسيان وطلب مارشال (الذي يحافظ على الدخل ثابتًا).
إجراء التفاضل الجزئي بشكل غير صحيح، خاصة مع متغيرات الأسعار المتعددة.
نسيان أن $p$ هو متجه لـ *جميع* الأسعار، وليس فقط $p_{i}$ .

Study smarter

Tips

تذكر أن طلب هيكسيان يحافظ على المنفعة ( $u$ ) ثابتة، وليس الدخل.
دالة الإنفاق $e (p, u)$ تعطي الحد الأدنى للتكلفة لتحقيق المنفعة $u$ عند الأسعار $p$ .
المشتق الجزئي $\frac{\partial e}{\partial p _{i}}$ يعني التفاضل $e$ بالنسبة لـ $p_{i}$ ، مع معاملة جميع الأسعار الأخرى و $u$ كثوابت.
تُعرف هذه العلاقة بمبرهنة شيبرد.

Common questions

Frequently Asked Questions

يتم العثور على الطلب هيكسي للسلعة عن طريق أخذ المشتقة الجزئية لدالة الإنفاق فيما يتعلق بسعر تلك السلعة.

تستخدم هذه الصيغة في الاقتصاد الجزئي لاشتقاق دالة الطلب الهيكسياني لسلعة ما عندما تكون دالة الإنفاق معروفة. وهي ضرورية لتحليل سلوك المستهلك تحت افتراض المنفعة الثابتة، خاصة عند فصل تأثيرات الاستبدال عن تأثيرات الدخل لتغيرات الأسعار، أو لتحليل الرفاهية.

يعد فهم طلب هيكسيان أمرًا أساسيًا لنظرية المستهلك المتقدمة واقتصاد الرفاهية. فهو يسمح للاقتصاديين بقياس تأثير الرفاهية لتغيرات الأسعار بدقة (على سبيل المثال، باستخدام التعويض المتغير أو التكافؤ المتغير) وبناء مؤشرات حقيقية لتكلفة المعيشة، مما يوفر صورة أكثر دقة لرفاهية المستهلك من طلب مارشال القياسي.

الخلط بين طلب هيكسيان وطلب مارشال (الذي يحافظ على الدخل ثابتًا). إجراء التفاضل الجزئي بشكل غير صحيح، خاصة مع متغيرات الأسعار المتعددة. نسيان أن $\mathbf{p}$ هو متجه لـ *جميع* الأسعار، وليس فقط $p_i$.

في سياق حساب الطلب المعوض على البنزين للحفاظ على مستوى معين من منفعة نمط الحياة على الرغم من تقلبات أسعار الوقود، تُستخدم معادلة دالة الطلب المعوض (هيكسيان) لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على مقارنة الحوافز وآثار السياسات ونتائج الأسواق أو القرارات المالية.

تذكر أن طلب هيكسيان يحافظ على المنفعة ($u$) ثابتة، وليس الدخل. دالة الإنفاق $e(\mathbf{p}, u)$ تعطي الحد الأدنى للتكلفة لتحقيق المنفعة $u$ عند الأسعار $\mathbf{p}$. المشتق الجزئي $\frac{\partial e}{\partial p_i}$ يعني التفاضل $e$ بالنسبة لـ $p_i$، مع معاملة جميع الأسعار الأخرى و $u$ كثوابت. تُعرف هذه العلاقة بمبرهنة شيبرد.