Allgemeines vektorielles Flächenintegral (Fluss) Calculator
Diese Formel berechnet den Fluss eines Vektorfeldes durch eine parametrisierte Fläche S, indem das Skalarprodukt des Vektorfeldes mit dem Normalenvektor der Fläche integriert wird.
Formula first
Overview
Das Flächenintegral berechnet das Netto-Volumen oder die Masse pro Zeiteinheit, die durch eine Fläche hindurchtritt. Durch die Parametrisierung der Fläche mit den Variablen u und v wird das differentielle Flächenelement in das Kreuzprodukt der partiellen Ableitungen transformiert, das sowohl die Orientierung der Fläche als auch die lokale Streckung berücksichtigt.
Symbols
Variables
F = Vector Field, S = Surface
Apply it well
When To Use
When to use: Verwende dies, wenn du den Fluss eines Vektorfeldes wie eines Geschwindigkeits- oder elektrischen Feldes durch eine durch parametrisierte Gleichungen definierte Fläche berechnen musst.
Why it matters: Es ist wesentlich für physikalische Phänomene wie die Berechnung des Massenstroms einer Flüssigkeit durch eine Membran oder des Flusses eines elektrischen Feldes durch eine Oberfläche in der Elektromagnetik, also das Gaußsche Gesetz.
Avoid these traps
Common Mistakes
- Nicht zu prüfen, ob die Orientierung des Normalenvektors zur Flächennormalen passt.
- Den Betrag und die Richtung des Kreuzprodukts der partiellen Ableitungen nicht korrekt zu berechnen.
One free problem
Practice Problem
Berechne den Fluss des Vektorfeldes F = <0, 0, z> durch die obere Halbkugel der Einheitskugel S (z >= 0), parametrisiert in Kugelkoordinaten mit phi in [0, pi/2] und theta in [0, 2pi].
Hint: Der Normalenvektor einer Kugel mit Radius R ist R*sin(phi)*<sin(phi)cos(theta), sin(phi)sin(theta), cos(phi)>.
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
References
Sources
- Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals.
- Marsden, J. E., & Tromba, A. (2011). Vector Calculus.
- Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals, 8th Edition. Cengage Learning.