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Matrixspur Calculator

Die Summe der Diagonalelemente einer quadratischen Matrix, die auch der Summe ihrer Eigenwerte entspricht.

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Result
Ready
Matrix Trace

Formula first

Overview

Die Spur einer quadratischen Matrix ist der Skalar, der als Summe der Elemente auf ihrer Hauptdiagonale definiert ist. Sie ist ein grundlegender Operator der linearen Algebra, der der Summe der Eigenwerte der Matrix entspricht und unter Ähnlichkeitstransformationen invariant bleibt.

Symbols

Variables

tr(A) = Matrix Trace, = Diagonal Element a11, = Diagonal Element a22

tr(A)
Matrix Trace
The sum of the diagonal elements
Diagonal Element a11
The first element on the main diagonal
Diagonal Element a22
The second element on the main diagonal

Apply it well

When To Use

When to use: Verwende die Spur, wenn du die Summe der Eigenwerte berechnen oder invariante Eigenschaften einer linearen Transformation bestimmen musst. Sie wird auch bei der Berechnung des inneren Produkts zweier Matrizen oder bei der Analyse der Divergenz eines Vektorfelds in der Tensorrechnung verwendet.

Why it matters: Die Spur ist wichtig, weil sie komplexe Matrixoperationen auf einen einzelnen Skalar reduziert, der wesentliche Informationen über das System enthält. In der Physik wird sie in der Quantenmechanik zur Bestimmung von Erwartungswerten und in der Thermodynamik zur Definition der Zustandssumme verwendet.

Avoid these traps

Common Mistakes

  • Versuchen, die Spur einer nicht-quadratischen Matrix zu berechnen.
  • Annehmen, dass tr(ABC) = tr(ACB) gilt; nur zyklische Permutationen wie tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB) sind garantiert.
  • Die Spur mit der Determinante verwechseln.

One free problem

Practice Problem

Eine quadratische 2×2-Matrix A hat die Diagonalelemente a₁₁ = x und a₂₂ = y. Berechne die Spur (result) der Matrix A.

Hint: Die Spur erhält man, indem man die Zahlen auf der Hauptdiagonale von links oben nach rechts unten addiert.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

References

Sources

  1. Linear Algebra and Its Applications by Gilbert Strang
  2. Wikipedia: Trace (linear algebra)
  3. Bird, R. Byron; Stewart, Warren E.; Lightfoot, Edwin N. (2007). Transport Phenomena (2nd ed.). John Wiley & Sons.
  4. Callen, Herbert B. (1985). Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics (2nd ed.). John Wiley & Sons.
  5. Lay, David C. Linear Algebra and Its Applications. Pearson, 2016.
  6. Trace (linear algebra). Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Trace_(linear_algebra)
  7. Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.