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Produktregel Calculator

Ableiten des Produkts zweier Funktionen.

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Result
Ready
Resultant Gradient

Formula first

Overview

Die Produktregel ist eine grundlegende Ableitungsformel, mit der die Ableitung einer Funktion bestimmt wird, die das Produkt von zwei oder mehr differenzierbaren Funktionen ist. Sie besagt, dass die Ableitung eines Produkts nicht einfach das Produkt der einzelnen Ableitungen ist, sondern eine bestimmte Kombination aus den ursprünglichen Funktionen und ihren jeweiligen Änderungsraten.

Symbols

Variables

= Resultant Gradient, u = Function u, = Derivative v', v = Function v, = Derivative u'

Resultant Gradient
Variable
Function u
Variable
Derivative v'
Variable
Function v
Variable
Derivative u'
Variable

Apply it well

When To Use

When to use: Wende diese Regel an, wenn du auf eine Funktion triffst, die aus zwei miteinander multiplizierten Teilfunktionen besteht, etwa algebraischen, trigonometrischen oder exponentiellen Produkten. Sie ist erforderlich, wenn beide Faktoren im Produkt nichtkonstante Funktionen derselben unabhängigen Variablen sind.

Why it matters: Diese Regel ist wesentlich für die Berechnung von Änderungsraten in Systemen mit wechselwirkenden Variablen, etwa bei der Berechnung der Leistung in einem Stromkreis (Spannung mal Strom) oder des Umsatzwachstums in der Wirtschaft (Preis mal Menge). Sie bildet die Grundlage der partiellen Integration in der Integralrechnung.

Avoid these traps

Common Mistakes

  • Nur die Ableitungen multiplizieren (u'v').
  • Vorzeichenfehler.

One free problem

Practice Problem

Eine Funktion ist als Produkt zweier Teilfunktionen u und v definiert. Wenn u = 5 und v = 10 gilt und ihre jeweiligen Ableitungen du = 2 und dv = 4 sind, berechne die gesamte Ableitung dy.

Hint: Setze die Werte in die Formel ein: dy = (u ×dv) + (v ×du).

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

References

Sources

  1. Calculus by James Stewart
  2. Wikipedia: Product rule
  3. Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed., Cengage Learning, 2016.
  4. Calculus: Early Transcendentals, 8th Edition by James Stewart
  5. Thomas' Calculus, 14th Edition by George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel Hass
  6. Product rule (Wikipedia article title)
  7. Edexcel A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)