Rang-Nullitätssatz Calculator

Formula first

Overview

Im Kontext einer linearen Abbildung T: V → W, wobei V endlichdimensional ist, liefert dieser Satz eine grundlegende Einschränkung für die Beziehung zwischen den Dimensionen von Kern und Bild.

Symbols

Variables

$\dim$(V) = Dimension of Domain, $\text{rank}$(T) = Rank, $\text{nullity}$(T) = Nullity

Apply it well

When To Use

When to use: Dieser Satz ist das grundlegendste Werkzeug in der universitären linearen Algebra zur Bestimmung der Dimensionen von Unterräumen, die mit linearen Transformationen verbunden sind.

Why it matters: Er verknüpft das Konzept der Injektivität (verbunden mit der Nullität) und der Surjektivität (verbunden mit dem Rang) mit der Geometrie des Definitionsraums.

Avoid these traps

Common Mistakes

• Die Dimension des Zielraums (W) mit der Dimension des Definitionsraums (V) verwechseln.
• Annehmen, dass der Satz auch für nichtlineare Transformationen gilt.

One free problem

Practice Problem

Gegeben sei eine lineare Transformation T: ℝ³ → ℝ², deren Kern eine Gerade durch den Ursprung ist (Dimension 1). Berechne den Rang von T.

Hint: Die Dimension des Definitionsraums ist 3. Wenn die Nullität 1 ist, verwende den Satz: Rang + Nullität = Dim(V).

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Keep going

Related Formulas

References

Sources

1. Axler, S. (2015). Linear Algebra Done Right.
2. Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right. Springer, 3rd ed., 2015.
3. Strang, Gilbert. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press, 5th ed., 2016.
4. Wikipedia: Rank-nullity theorem
5. Rank-nullity theorem (Wikipedia article)
6. Sheldon Axler Linear Algebra Done Right
7. Gilbert Strang Introduction to Linear Algebra
8. Wikipedia article 'Rank-nullity theorem'