EngineeringStrömungsmechanikUniversity

IBUndergraduate

Darcy-Weisbach-Gleichung

Die Darcy-Weisbach-Gleichung berechnet den gesamten Druckverlust in einem zirkularen Rohr aufgrund von Reibungswiderstand und geringen Verlusten.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough

H_{L 12} = {\frac{2 ⟨ v ⟩ ^{2}}{D g} [(i \sum L_{i}) f + \frac{D}{4} (i \sum e_{v, i})] \frac{32 Q ^{2}}{π ^{2} D ^{5} g} [(i \sum L_{i}) f + \frac{D}{4} (i \sum e_{v, i})]

Open Full Walkthrough Try Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

Diese Gleichung setzt den Energieverlust eines Fluids, das durch ein Rohr strömt, in Beziehung zur mittleren Geschwindigkeit oder zum volumetrischen Durchfluss, zur Rohrgeometrie und zum Reibungsfaktor. Sie berücksichtigt hohe Verluste, die durch die Reibung der Rohrwand über die Gesamtlänge verursacht werden, und geringe Verluste, die aus Armaturen, Ventilen und Änderungen der Rohrgeometrie resultieren. Die Formulierung ist sowohl für laminare als auch für turbulente Strömungsbereiche anwendbar, vorausgesetzt, der entsprechende Reibungsfaktor wird bestimmt.

When to use: Verwenden Sie diese Gleichung, wenn Sie den Druckabfall oder den Energieverlust bei einer voll ausgebildeten Strömung in einem zirkularen Kanal bestimmen.

Why it matters: Sie ist das grundlegende Werkzeug für die Auslegung von Rohrleitungssystemen und stellt sicher, dass Pumpen richtig dimensioniert sind, um Widerstände zu überwinden und die erforderlichen Durchflussraten aufrechtzuerhalten.

Symbols

Variables

$H_{L 12}$ = $H_{L 12}$

H_{L 12}

H_{L12}

Variable

Walkthrough

Derivation

Herleitung der Darcy-Weisbach-Gleichung

Die Darcy-Weisbach-Gleichung setzt den Gesamtdruckverlust in einem Rohrsystem in Beziehung zu Reibungsverlusten und Einzelverlusten. Sie wird durch die Kombination der Energiedissipation aufgrund der Wandschubspannung mit den Energieverlusten, die durch Rohrformstücke und Geometrieänderungen verursacht werden, hergeleitet.

Das Fluid ist inkompressibel.
Die Strömung ist innerhalb der Rohrabschnitte voll ausgebildet.
Das Rohr ist kreisförmig mit einem konstanten Durchmesser D.
Einzelverluste sind additiv und proportional zum Geschwindigkeitsdruck.

Grundlegende Darcy-Weisbach-Form

Dies ist die empirische Grundlage für den Reibungsdruckverlust ( $H_{f}$ ) in einem Rohr der Länge L und des Durchmessers D, wobei f der Darcy-Reibungsfaktor und v die mittlere Geschwindigkeit ist.

H_{f} = f \frac{L}{D} \frac{v ^{2}}{2 g}

Note: Der Reibungsfaktor f ist dimensionslos und hängt von der Reynolds-Zahl und der Rohrrauheit ab.

Einbeziehung von Einzelverlusten

Der Gesamtdruckverlust ( $H_{L 12}$ ) ist die Summe der Reibungsverluste über die Gesamtlänge und der Einzelverluste ( $H_{min or}$ ), dargestellt durch Verlustbeiwerte $e_{v, i}$ multipliziert mit dem Geschwindigkeitsdruck.

H_{L 12} = H_{f} + \sum H_{min or} = f \frac{( \sum L _{i} )}{D} \frac{v ^{2}}{2 g} + \sum (e_{v, i} \frac{v ^{2}}{2 g})

Note: Einzelverluste berücksichtigen die Energiedissipation an Ventilen, Krümmern und Übergängen.

Ausklammern des Geschwindigkeitsdrucks

Durch Ausklammern des Geschwindigkeitsdruckterms gruppieren wir die Reibungs- und Einzelverlustkomponenten. Der Ausdruck wird umgestellt, um der gewünschten Formelstruktur zu entsprechen.

H_{L 12} = \frac{v ^{2}}{2 g} [\frac{( \sum L _{i} ) f}{D} + \sum e_{v, i}] = \frac{v ^{2}}{D 2 g} [(\sum L_{i}) f + \frac{D}{4} (4 \sum e_{v, i})]

Note: Stellen Sie sicher, dass die Einheiten konsistent sind; v ist die mittlere Geschwindigkeit ⟨v⟩.

Umrechnung in den Volumenstrom

Durch Einsetzen der Kontinuitätsgleichung v = Q/A kann der Druckverlust in Abhängigkeit vom Volumenstrom Q anstelle der mittleren Geschwindigkeit ausgedrückt werden.

v = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{π D ^{2} /4} = \frac{4 Q}{π D ^{2}} ⟹ v^{2} = \frac{16 Q ^{2}}{π ^{2} D ^{4}}

Note: Dies ist nützlich, wenn der Volumenstrom anstelle der Geschwindigkeit bekannt ist.

Letzte Substitution

Das Einsetzen des Ausdrucks für $v^{2}$ in die geschwindigkeitsbasierte Formel ergibt die durchflussbasierte Formel.

H_{L 12} = \frac{2 ( 16 Q ^{2} / π ^{2} D ^{4} )}{D g} [...] = \frac{32 Q ^{2}}{π ^{2} D ^{5} g} [...]

Note: The $D^{5}$ term in the denominator highlights the high sensitivity of head loss to pipe diameter.

Result

H_{L 12} = \frac{2 ( 16 Q ^{2} / π ^{2} D ^{4} )}{D g} [...] = \frac{32 Q ^{2}}{π ^{2} D ^{5} g} [...]

Why it behaves this way

Intuition

Stellen Sie sich eine Flüssigkeit vor, die durch einen Tunnel fährt. Während es sich bewegt, reibt es an den Wänden (reibungsstarke Verluste) und stürzt in Hindernisse wie Ventile oder Biegungen (minor Verluste). Der Kopfverlust stellt die vertikale Höhe dar, die die Flüssigkeit von ihrer potentiellen Energie "verlassen" würde, um diesen Widerstand zu überwinden. Geometrisch summiert die Gleichung alle Längen des Rohres und alle passenden Widerstände, skaliert sie durch die kinetische Energie der Strömung und die Enge des Rohres.

Term

Gesamtkopfverlust zwischen den Punkten 1 und 2

Die äquivalente Höhe der Flüssigkeit, die durch Reibung und Turbulenz verloren geht; effektiv die "Energiesteuer" bezahlt, um die Flüssigkeit durch das Rohr zu bewegen.

Term

Darcy Reibfaktor

Ein dimensionsloser Koeffizient, der die "Härte" und den Widerstand der Rohrwand gegenüber der Trägheit der Strömung darstellt.

Term

Länge der Rohrsegmente

Der Gesamtabstand des Fluids läuft in Kontakt mit den Rohrwänden; je länger der Weg, desto mehr Energie wird abgelassen.

Term

Mindestverlustkoeffizient (K)

Ein "Penalty"-Wert für jedes Ventil, Ellbogen oder Verbindungspunkt, der den glatten Fluss des Fluids stört.

Term

Innenrohrdurchmesser

Die Größe des "Tunnels"; kleinere Rohre zwingen Flüssigkeit, schneller zu bewegen und näher an den Wänden zu bleiben, drastisch steigende Widerstand.

Term

Volumennstrom

Das pro Sekunde durchgeschobene Fluidvolumen; da Kopfverlustwaagen mit Q-Quadd verdoppeln, vervierfacht der Fluss die benötigte Energie.

Term

Beschleunigung durch Schwerkraft

Die Konstante, die den Energieverlust in einen 'Kopf' oder eine vertikale Höhe umwandelt.

Signs and relationships

f * sum(L_i): Positiv, weil Reibung sich immer der Bewegung entgegensetzt und sich mit dem zurückgelegten Abstand linear ansammelt.
D/4 * sum(e_{v, i}): Hinzu kommt die Länge, weil Armaturen zusätzliche Punkte der Energieableitung liefern, die effektiv wie "extra" Rohrlänge wirkt.
1/D^5: Zeigt extreme Empfindlichkeit gegenüber Rohrgröße an; da das Rohr kleiner wird (Nenner nimmt ab), explodiert der Kopfverlust, weil das Fluid bei höheren Geschwindigkeiten in einen kleineren Bereich begrenzt wird.

One free problem

Practice Problem

Wenn in einem horizontalen Rohrsystem der Rohrdurchmesser verdoppelt wird, während der volumetrische Durchfluss konstant bleibt, wie ändert sich der Reibungsdruckverlust, unter der Annahme, dass der Reibungsfaktor konstant bleibt?

Hint: Untersuchen Sie die Abhängigkeit der Druckformel von D im Term $Q^{2}$ / $D^{5}$ .

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Kommunale Wasserverteilungssysteme verwenden diese Gleichung, um die erforderliche Pumpenhöhe zu berechnen, um Wasser von einer Aufbereitungsanlage zu Hochbehältern zu transportieren, wobei Rohrreibung und Ventilverluste berücksichtigt werden.

Study smarter

Tips

Stellen Sie sicher, dass der verwendete Reibungsfaktor mit der Reynolds-Zahl der Strömung übereinstimmt.
Überprüfen Sie, ob alle Verlustkoeffizienten für geringe Verluste auf der Grundlage der gleichen Geschwindigkeitsziffer definiert sind.
Prüfen Sie, ob die Einheiten für Länge, Durchmesser und Schwerkraft über die gesamte Berechnung hinweg konsistent sind.

Avoid these traps

Common Mistakes

Verwechslung des Darcy-Reibungsfaktors mit dem Fanning-Reibungsfaktor (der viermal kleiner ist).
Vernachlässigung der Variation des Reibungsfaktors mit der Reynolds-Zahl bei turbulenter Strömung.

Common questions

Frequently Asked Questions

Verwenden Sie diese Gleichung, wenn Sie den Druckabfall oder den Energieverlust bei einer voll ausgebildeten Strömung in einem zirkularen Kanal bestimmen.

Sie ist das grundlegende Werkzeug für die Auslegung von Rohrleitungssystemen und stellt sicher, dass Pumpen richtig dimensioniert sind, um Widerstände zu überwinden und die erforderlichen Durchflussraten aufrechtzuerhalten.

Verwechslung des Darcy-Reibungsfaktors mit dem Fanning-Reibungsfaktor (der viermal kleiner ist). Vernachlässigung der Variation des Reibungsfaktors mit der Reynolds-Zahl bei turbulenter Strömung.

Stellen Sie sicher, dass der verwendete Reibungsfaktor mit der Reynolds-Zahl der Strömung übereinstimmt. Überprüfen Sie, ob alle Verlustkoeffizienten für geringe Verluste auf der Grundlage der gleichen Geschwindigkeitsziffer definiert sind. Prüfen Sie, ob die Einheiten für Länge, Durchmesser und Schwerkraft über die gesamte Berechnung hinweg konsistent sind.

References

Sources

Munson, B. R., Young, D. F., & Okiishi, T. H. (2006). Fundamentals of Fluid Mechanics. Wiley.
White, F. M. (2011). Fluid Mechanics. McGraw-Hill.
NIST CODATA
IUPAC Gold Book
Wikipedia: Darcy–Weisbach equation
NIST Chemistry WebBook
Britannica
Engineering Fluid Mechanics by Clayton T. Crowe, Donald F. Elger, John A. Roberson

Darcy-Weisbach-Gleichung

Overview

Variables

Derivation

Grundlegende Darcy-Weisbach-Form

Einbeziehung von Einzelverlusten

Ausklammern des Geschwindigkeitsdrucks

Umrechnung in den Volumenstrom

Letzte Substitution

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Reynolds Number

Frequently Asked Questions

Sources