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Funktion der Ausgaben

Bestimmt die minimalen Ausgaben, die erforderlich sind, um bei gegebenen Preisen ein bestimmtes Nutzenniveau zu erreichen.

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Core idea

Overview

Die Expenditure Function, bezeichnet als $e(\mathbf{p}, u)$, ist ein grundlegendes Konzept der Mikroökonomie, das die minimalen Kosten darstellt, um bei einem gegebenen Preisvektor ($\mathbf{p}$) für Güter ein bestimmtes Nutzenniveau ($u$) zu erreichen. Sie wird aus dem Nutzenmaximierungsproblem des Konsumenten abgeleitet und ist entscheidend für das Verständnis von Konsumentenverhalten, Wohlfahrtsanalyse und der Dualität zwischen Nutzenmaximierung und Ausgabenminimierung. *Für den Zweck dieses Rechners werden die zugrunde liegende Nutzenfunktion und das Konsumbündel vereinfacht, um eine direkte algebraische Manipulation von Preis, Nutzen und Ausgaben zu ermöglichen.*

When to use: Wende diese Funktion an, wenn du die niedrigstmöglichen Kosten berechnen musst, um bei gegebenen Marktpreisen ein angestrebtes Nutzenniveau zu erreichen. Sie ist besonders nützlich in der Wohlfahrtsökonomik zur Messung der Lebenshaltungskosten, von kompensierenden Variationen und äquivalenten Variationen oder zur Gestaltung optimaler Subventionsprogramme.

Why it matters: Die Expenditure Function ist zentral für die Wohlfahrtsanalyse, da sie Ökonomen ermöglicht, den monetären Wert von Änderungen des Nutzens oder der Preise zu quantifizieren. Sie bildet die Grundlage für die Herleitung Hicks'scher (kompensierter) Nachfragefunktionen und liefert ein leistungsfähiges Instrument, um zu verstehen, wie Konsumenten ihre Ausgaben anpassen, um trotz Preisänderungen einen bestimmten Lebensstandard aufrechtzuerhalten, ohne durch Einkommenseffekte verzerrt zu werden.

Symbols

Variables

p = Price (simplified), u = Utility Level, x = Quantity (simplified), U = Utility Function (simplified), e = Minimum Expenditure

Price (simplified)
$
Utility Level
utils
Quantity (simplified)
units
Utility Function (simplified)
function
Minimum Expenditure
$

Walkthrough

Derivation

Formel: Ausgabenfunktion

Die Ausgabenfunktion definiert die minimalen Kosten, um ein spezifisches Nutzenniveau bei gegebenen Preisen zu erreichen.

  • Konsumentenpräferenzen sind rational, vollständig, transitiv, stetig und lokal nicht gesättigt.
  • Preise sind positiv und fixiert.
  • Die Nutzenfunktion ist stetig und quasikonkav.
  • Der Konsument versucht, die Ausgaben zu minimieren, unter der Bedingung, ein Zielnutzenniveau zu erreichen.
1

Definition des Ausgabenminimierungsproblems:

Der Konsument wählt ein Güterbündel , um die Gesamtausgaben zu minimieren, unter der Bedingung, mindestens ein Zielnutzenniveau aus der Nutzenfunktion zu erreichen.

2

Aufstellen des Lagranges:

Der Lagrange-Ansatz wird aufgestellt, um dieses Optimierungsproblem unter Nebenbedingungen zu lösen, wobei der Lagrange-Multiplikator ist, der die Grenzkosten einer Nutzensteigerung darstellt.

3

Bedingungen erster Ordnung (FOCs):

Die Bedingungen erster Ordnung implizieren, dass im Optimum das Verhältnis von Grenznutzen zu Preis für alle Güter gleich ist und dem Kehrwert des Lagrange-Multiplikators (dem Grenznutzen des Geldes) entspricht.

4

Lösung nach Hicks'schen Nachfragen:

Das Lösen der FOCs ergibt die Hicks'schen (oder kompensierten) Nachfragefunktionen, die die nachgefragte Menge jedes Gutes als Funktion der Preise und des Zielnutzenniveaus zeigen.

5

Einsetzen in die Ausgabenfunktion:

Setzen Sie die Hicks'schen Nachfragefunktionen wieder in die Ausgaben-Zielfunktion ein, um die minimalen Ausgaben zu erhalten, die erforderlich sind, um den Nutzen bei Preisen zu erreichen.

Result

Source: Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. 3rd ed. W. W. Norton & Company, 1992. Chapter 3: Consumer Choice.

Why it behaves this way

Intuition

Stellen Sie sich eine mehrdimensionale Fläche vor, auf der jeder Punkt eine Kombination von Gütern darstellt und seine Höhe die Gesamtkosten angibt. Die Ausgabenfunktion findet den niedrigsten Punkt auf dieser Kostenfläche, der noch auf die betrachtete abhängige Größe auswirkt.

Term
Die minimalen Gesamtausgaben, die erforderlich sind, um ein bestimmtes Nutzenniveau zu erreichen.
Sie gibt den absolut günstigsten Weg an, um ein gewünschtes Maß an Zufriedenheit bei aktuellen Marktpreisen zu erreichen.
Term
Ein Vektor, der die Marktpreise für alle verfügbaren Güter darstellt.
Wie viel jeder einzelne Gegenstand kostet.
Term
Ein spezifisches Zielniveau an Nutzen oder Zufriedenheit, das der Konsument erreichen möchte.
Das gewünschte Maß an „Glück“ oder Wohlbefinden.
Term
Ein Vektor, der die Mengen der verschiedenen konsumierten Güter darstellt.
Der spezifische Warenkorb an Gütern, den ein Konsument kauft.
Term
Die monetären Gesamtkosten eines Konsumbündels \mathbf{x}, berechnet als Summe aus (Preis von Gut i * Menge von Gut i) für alle Güter.
Ihre Gesamtrechnung an der Kasse für einen bestimmten Satz von Einkäufen.
Term
Die Nutzenfunktion, die die Gesamtzufriedenheit oder das Wohlbefinden quantifiziert, das aus dem Konsum eines spezifischen Güterbündels \mathbf{x} resultiert.
Wie viel Zufriedenheit Sie aus einem bestimmten Warenkorb ziehen.
Term
Die mathematische Operation des Findens des kleinstmöglichen Wertes der Zielfunktion (Gesamtausgaben) durch Auswahl des optimalen Konsumbündels \mathbf{x}.
Sie suchen aktiv nach dem absolut günstigsten Weg, Ihre Bedürfnisse zu erfüllen.
Term
Eine Nebenbedingung, die sicherstellt, dass das gewählte Konsumbündel \mathbf{x} mindestens das Zielnutzenniveau u bietet.
Die Zufriedenheit, die Sie aus Ihren Einkäufen ziehen, muss mindestens Ihrem gewünschten Glücksniveau entsprechen.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Ausgaben und Preise werden in einer konsistenten Währungseinheit ausgedrückt, während der Nutzen typischerweise als ordinales, einheitsloses Maß behandelt wird.

Dimension note

Das Nutzenniveau (u) und der Ausgabewert der Nutzenfunktion (U(x)) werden typischerweise als dimensionslos oder mit willkürlichen Einheiten ('Utils') betrachtet

One free problem

Practice Problem

Using the simplified expenditure model , if a good is priced at per unit and the target utility level is , what is the minimum expenditure required?

Hint: Verwende die Expenditure Function für Cobb-Douglas: .

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Wird von Regierungen verwendet, um die Kosten zu berechnen, die nötig sind, um für einkommensschwache Haushalte einen bestimmten Lebensstandard aufrechtzuerhalten, und dient so als Grundlage für armutsmindernde Maßnahmen.

Study smarter

Tips

  • Die Expenditure Function ist nicht fallend in Preisen und steigend im Nutzen.
  • Sie ist konkav in den Preisen, was widerspiegelt, dass ein Konsument von relativ teureren Gütern auf andere ausweichen kann.
  • Shephard's Lemma besagt, dass die Hicks'sche Nachfrage nach einem Gut die partielle Ableitung der Expenditure Function nach dem Preis dieses Gutes ist.
  • Die Expenditure Function ist homogen vom Grad eins in den Preisen (eine Verdopplung aller Preise verdoppelt die minimalen Ausgaben).

Avoid these traps

Common Mistakes

  • Die Expenditure Function mit der indirekten Nutzenfunktion verwechseln (sie sind invers zueinander).
  • Beim Herleiten oder Anwenden der Funktion fälschlicherweise eine bestimmte Nutzenfunktion annehmen.
  • Den 'min'-Operator fälschlich als einfache algebraische Berechnung statt als Optimierungsproblem interpretieren.

Common questions

Frequently Asked Questions

Die Ausgabenfunktion definiert die minimalen Kosten, um ein spezifisches Nutzenniveau bei gegebenen Preisen zu erreichen.

Wende diese Funktion an, wenn du die niedrigstmöglichen Kosten berechnen musst, um bei gegebenen Marktpreisen ein angestrebtes Nutzenniveau zu erreichen. Sie ist besonders nützlich in der Wohlfahrtsökonomik zur Messung der Lebenshaltungskosten, von kompensierenden Variationen und äquivalenten Variationen oder zur Gestaltung optimaler Subventionsprogramme.

Die Expenditure Function ist zentral für die Wohlfahrtsanalyse, da sie Ökonomen ermöglicht, den monetären Wert von Änderungen des Nutzens oder der Preise zu quantifizieren. Sie bildet die Grundlage für die Herleitung Hicks'scher (kompensierter) Nachfragefunktionen und liefert ein leistungsfähiges Instrument, um zu verstehen, wie Konsumenten ihre Ausgaben anpassen, um trotz Preisänderungen einen bestimmten Lebensstandard aufrechtzuerhalten, ohne durch Einkommenseffekte verzerrt zu werden.

Die Expenditure Function mit der indirekten Nutzenfunktion verwechseln (sie sind invers zueinander). Beim Herleiten oder Anwenden der Funktion fälschlicherweise eine bestimmte Nutzenfunktion annehmen. Den 'min'-Operator fälschlich als einfache algebraische Berechnung statt als Optimierungsproblem interpretieren.

Wird von Regierungen verwendet, um die Kosten zu berechnen, die nötig sind, um für einkommensschwache Haushalte einen bestimmten Lebensstandard aufrechtzuerhalten, und dient so als Grundlage für armutsmindernde Maßnahmen.

Die Expenditure Function ist nicht fallend in Preisen und steigend im Nutzen. Sie ist konkav in den Preisen, was widerspiegelt, dass ein Konsument von relativ teureren Gütern auf andere ausweichen kann. Shephard's Lemma besagt, dass die Hicks'sche Nachfrage nach einem Gut die partielle Ableitung der Expenditure Function nach dem Preis dieses Gutes ist. Die Expenditure Function ist homogen vom Grad eins in den Preisen (eine Verdopplung aller Preise verdoppelt die minimalen Ausgaben).

References

Sources

  1. Hal R. Varian, Microeconomic Analysis
  2. Walter Nicholson and Christopher Snyder, Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions
  3. Wikipedia: Expenditure function
  4. Mas-Colell, Whinston, and Green, Microeconomic Theory
  5. Hal R. Varian Microeconomic Analysis
  6. Walter Nicholson, Christopher Snyder Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions
  7. Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston, Jerry R. Green Microeconomic Theory
  8. Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. 3rd ed. W. W. Norton & Company, 1992. Chapter 3: Consumer Choice.