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Gesamtdrehimpuls

Größe des Gesamtdrehimpulses.

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Core idea

Overview

Die Größe des Gesamtdrehimpulses ist ħ sqrt(j(j+1)).

When to use: Verwenden Sie dies, wenn Sie wasserstoffähnliche Quantenzahlen oder einfache Bindungsbilder für Atome und Moleküle benötigen.

Why it matters: Dies sind die Standardregeln für Quantenzahlen, die dem Schalenaufbau, dem Drehimpuls und den Orbitalformen zugrunde liegen.

Symbols

Variables

J = J

J
Variable

Walkthrough

Derivation

Herleitung des Betrags des Gesamtdrehimpulses

Der Betrag des Gesamtdrehimpulses wird aus der Eigenwertgleichung des quadrierten Drehimpulsoperators J² in der Quantenmechanik hergeleitet.

  • Der Gesamtdrehimpulsoperator J gehorcht den fundamentalen Vertauschungsrelationen [, ] = iħ .
  • Der quadrierte Operator J² kommutiert mit jeder Komponente (insbesondere [J², ] = 0).
  • Der Betrag eines Vektoroperators in der Quantenmechanik ist definiert als |J| = sqrt(⟨J²⟩).
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Definieren der Eigenwertgleichung

Aus der Algebra der Drehimpulsoperatoren (hergeleitet aus der Lie-Algebra su(2)) sind die Eigenwerte des quadrierten Operators J² auf die Form j(j+1)ħ² beschränkt, wobei j die Gesamtdrehimpulsquantenzahl ist.

Note: Dieses Ergebnis folgt aus der Anforderung, dass der Darstellungsraum der Rotationsgruppe endlichdimensional sein muss.

2

Beziehung zum Betrag

Der Betrag des Drehimpulsvektors ist die Quadratwurzel des Erwartungswerts von J². Das Ziehen der Quadratwurzel des Eigenwerts ergibt direkt die Standardformel.

3

Simplify

Das Herausziehen der Konstanten ħ² aus der Quadratwurzel vervollständigt den Ausdruck.

Result

Source: Chemistry LibreTexts, angular momentum in the hydrogen atom, accessed 2026-04-09

Why it behaves this way

Intuition

Das Gesamtwinkelmoment J ist als Vektor dargestellt, der um eine feste Achse (in der Regel die z-Achse) vorgibt. Aufgrund des Ungewissheitsprinzips kann der Vektor nicht genau entlang einer Achse weisen, sondern einen Kegel verfolgen. Die Länge dieses Vektors ist etwas länger als die maximal mögliche Projektion, weshalb die Formel sqrt(j(j(j+1)) anstelle einfach j verwendet.

Term
Höhe des Gesamtwinkelmoments
Die "Gesamtlänge" der kombinierten rotatorischen und intrinsischen Spinbewegung des Partikels.
Term
Reduzierte Planck Konstante
Der grundlegende "Hardstick" oder Quanten von Winkelmoment im Universum.
Term
Gesamte Winkelmomentanzahl
Eine nicht-negativ ganze oder halb-integer, die als "Größe-Label" für die Orbital-Spin-Kombination wirkt.

Signs and relationships

  • j(j+1): Der +1-Termin ergibt sich aus der nicht-kommutativen Natur der quantenmechanischen Operatoren; er sorgt dafür, dass die Gesamtgröße immer größer ist als die maximale Projektion (), die das Heisenberg-Unsicherheitsprinzip erfüllt.
  • sqrt: Verwendet, um den Eigenwert des quadratischen Winkelimpulsoperators (J2) in einen linearen Größenwert umzuwandeln.

One free problem

Practice Problem

Wie skaliert die Größe des Gesamtdrehimpulses, wenn die Quantenzahl j zunimmt?

Hint: Betrachten Sie die Formel J = ħ√j(j+1).

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Im Kontext von Lesen der Größe eines Feinstruktur-Drehimpulszustandes wird Gesamtdrehimpuls verwendet, um Messwerte in einen interpretierbaren Wert zu übersetzen. Das Ergebnis ist wichtig, weil es hilft, Abmessungen, Leistung oder Sicherheitsmargen eines Entwurfs zu prüfen.

Study smarter

Tips

  • J ist die Vektorsumme aus Orbital- und Spin-Drehimpuls.
  • Die Quantenzahl j bezeichnet die zulässigen Gesamtdrehimpulsgrößen.
  • Die z-Komponente ist immer noch separat als ħ quantisiert.

Avoid these traps

Common Mistakes

  • Verwechslung der Orbitalorientierung mit der Orbitalenergie.
  • Vernachlässigung des Spins bei der Zählung der Anzahl möglicher Zustände.
  • Verwechslung der Größe des Drehimpulses mit seiner z-Komponente.

Common questions

Frequently Asked Questions

Der Betrag des Gesamtdrehimpulses wird aus der Eigenwertgleichung des quadrierten Drehimpulsoperators J² in der Quantenmechanik hergeleitet.

Verwenden Sie dies, wenn Sie wasserstoffähnliche Quantenzahlen oder einfache Bindungsbilder für Atome und Moleküle benötigen.

Dies sind die Standardregeln für Quantenzahlen, die dem Schalenaufbau, dem Drehimpuls und den Orbitalformen zugrunde liegen.

Verwechslung der Orbitalorientierung mit der Orbitalenergie. Vernachlässigung des Spins bei der Zählung der Anzahl möglicher Zustände. Verwechslung der Größe des Drehimpulses mit seiner z-Komponente.

Im Kontext von Lesen der Größe eines Feinstruktur-Drehimpulszustandes wird Gesamtdrehimpuls verwendet, um Messwerte in einen interpretierbaren Wert zu übersetzen. Das Ergebnis ist wichtig, weil es hilft, Abmessungen, Leistung oder Sicherheitsmargen eines Entwurfs zu prüfen.

J ist die Vektorsumme aus Orbital- und Spin-Drehimpuls. Die Quantenzahl j bezeichnet die zulässigen Gesamtdrehimpulsgrößen. Die z-Komponente ist immer noch separat als m_j ħ quantisiert.

References

Sources

  1. Chemistry LibreTexts, hydrogen atom, angular momentum, and bonding orbitals chapters, accessed 2026-04-09
  2. Chemistry LibreTexts, bonding and antibonding orbitals, accessed 2026-04-09
  3. Chemistry LibreTexts, angular momentum in the hydrogen atom, accessed 2026-04-09
  4. NIST CODATA
  5. IUPAC Gold Book
  6. Atomic and molecular orbital - Wikipedia
  7. Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics
  8. Sakurai, J. J., & Napolitano, Jim. Modern Quantum Mechanics