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Tresca-Fließkriterium (Theorie der maximalen Schubspannung)

Sagt das Fließen eines Materials voraus, wenn die maximale Schubspannung die Hälfte der Streckgrenze aus dem einachsigen Zugversuch erreicht.

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τ_{ma x} = \frac{σ _{1} - σ _{3}}{2} = \frac{σ _{y}}{2}

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Core idea

Overview

Das Tresca-Fließkriterium, auch als Theorie der maximalen Schubspannung bekannt, besagt, dass das Fließen eines duktilen Materials beginnt, wenn die maximale Schubspannung im Material einen kritischen Wert erreicht. Dieser kritische Wert ist definiert als die Hälfte der Streckgrenze ($\sigma_y$), die aus einem einfachen einachsigen Zugversuch ermittelt wird. Es wird ausgedrückt als $\tau_{max} = (\sigma_1 - \sigma_3)/2 = \sigma_y/2$, wobei $\sigma_1$ und $\sigma_3$ die maximale bzw. minimale Hauptspannung sind. Dieses Kriterium wird häufig für duktile Materialien verwendet und liefert im Vergleich zum Von-Mises-Kriterium eine konservative Abschätzung des Fließbeginns.

When to use: Verwende dieses Kriterium zur Vorhersage des Fließbeginns in duktilen Materialien unter komplexen Spannungszuständen, insbesondere wenn ein konservativer Auslegungsansatz bevorzugt wird. Es ist besonders anwendbar, wenn das Materialverhalten stark durch Schubspannung bestimmt wird, etwa bei Torsion oder dünnwandigen Druckbehältern.

Why it matters: Die Vorhersage des Fließbeginns ist entscheidend, um die strukturelle Integrität zu gewährleisten und katastrophale Ausfälle von Bauteilen zu verhindern. Das Tresca-Kriterium ermöglicht Ingenieuren die Auslegung von Teilen, die aufgebrachte Lasten sicher ohne bleibende Verformung aufnehmen können. Das ist in Bereichen wie Maschinenbau, Bauingenieurwesen und Luft- und Raumfahrt bei Komponenten von Wellen bis Druckbehältern von zentraler Bedeutung.

Symbols

Variables

$τ_{ma x}$ = Maximum Shear Stress, $σ_{1}$ = Maximum Principal Stress, $σ_{3}$ = Minimum Principal Stress, $σ_{y}$ = Yield Strength (Uniaxial)

τ_{ma x}

Maximum Shear Stress

MPa

σ_{1}

Maximum Principal Stress

MPa

σ_{3}

Minimum Principal Stress

MPa

σ_{y}

Yield Strength (Uniaxial)

MPa

Walkthrough

Derivation

Formel: Tresca-Fließkriterium

Das Tresca-Fließkriterium besagt, dass Fließen eintritt, wenn die maximale Schubspannung in einem Material die Hälfte seiner einaxialen Streckgrenze erreicht.

Das Material ist duktil.
Das Material weist ein isotropes Verhalten auf (Eigenschaften sind in alle Richtungen gleichmäßig).
Die Streckgrenze des Materials bei Druck ist gleich seiner Streckgrenze bei Zug.

Mohrscher Spannungskreis für Schubspannung:

Für jeden allgemeinen 3D-Spannungszustand tritt die maximale Schubspannung ( $τ_{ma x}$ ) auf Ebenen auf, die um 45 Grad zu den Hauptebenen versetzt sind, und ist gleich der halben Differenz zwischen der maximalen ( $σ_{1}$ ) und der minimalen ( $σ_{3}$ ) Hauptspannung. Dies ist ein grundlegendes Ergebnis aus der Analyse des Mohrschen Spannungskreises.

τ_{ma x} = \frac{σ _{1} - σ _{3}}{2}

Einaxialer Zugversuch:

Betrachten Sie einen einfachen einaxialen Zugversuch, bei dem ein Material bei einer Spannung von $σ_{y}$ fließt. In diesem Zustand sind die Hauptspannungen $σ_{1} = σ_{y}$ , $σ_{2} = 0$ und $σ_{3} = 0$ . Die Anwendung der Formel für die maximale Schubspannung aus dem Mohrschen Spannungskreis auf diesen Zustand ergibt $τ_{ma x, y i e l d} = \frac{σ _{y} - 0}{2} = \frac{σ _{y}}{2}$ .

σ_{1} = σ_{y}, σ_{2} = 0, σ_{3} = 0

Formulierung des Tresca-Kriteriums:

Das Tresca-Kriterium postuliert, dass Fließen in jedem allgemeinen Spannungszustand eintritt, wenn die maximale Schubspannung ( $τ_{ma x}$ ) in diesem Zustand denselben kritischen Wert erreicht, der beim einaxialen Fließen beobachtet wurde. Daher ist die Bedingung für das Fließen $\frac{σ _{1} - σ _{3}}{2} = \frac{σ _{y}}{2}$ .

τ_{ma x} = \frac{σ _{1} - σ _{3}}{2} = \frac{σ _{y}}{2}

Result

τ_{ma x} = \frac{σ _{1} - σ _{3}}{2} = \frac{σ _{y}}{2}

Source: Beer, F. P., Johnston Jr., E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. (2012). Mechanics of Materials (6th ed.). McGraw-Hill. Chapter 8: Theories of Failure.

Visual intuition

Graph

Die Grafik ist eine gerade Linie mit positiver Steigung, die anzeigt, dass die maximale Schubspannung stetig ansteigt, wenn die maximale Hauptspannung zunimmt. Für einen Ingenieurstudenten bedeutet dieser lineare Zusammenhang, dass eine Verdoppelung der maximalen Hauptspannung zu einem proportionalen Anstieg der maximalen Schubspannung führt, was verdeutlicht, wie Spannungszustände das Materialversagen direkt beeinflussen. Das wichtigste Merkmal dieser Kurve ist, dass die konstante Beziehung zwischen den Variablen unabhängig von der Größe der Spannungen unverändert bleibt, was einen vorhersehbaren und konsistenten Übergang zur Fließgrenze zeigt.

Graph type: linear

Why it behaves this way

Intuition

Das Tresca-Kriterium visualisiert das Fließen des Materials dann, wenn der Radius des größten Mohrschen Spannungskreises (der die maximale Schubspannung darstellt) einen kritischen Wert erreicht.

Term

Maximale Schubspannung, die innerhalb des Materials auftritt

Dies ist die größte intern wirkende „Schneid-“ oder „Gleitkraft“ pro Flächeneinheit. Wenn sie einen kritischen Wert überschreitet, fließt das Material.

Term

Maximale Hauptspannung

Die größte Normalspannung (Zug oder Druck), die auf einer Ebene wirkt, auf der die Schubspannung Null ist. Sie stellt die extremste Zug- oder Druckkraft innerhalb des Materials dar.

Term

Minimale Hauptspannung

Die kleinste Normalspannung (Zug oder Druck), die auf einer Ebene wirkt, auf der die Schubspannung Null ist. Sie stellt die am wenigsten extreme Zug- oder Druckkraft innerhalb des Materials dar.

Term

Streckgrenze des Materials aus einem einaxialen Zugversuch

Das Spannungsniveau, bei dem ein Material beginnt, sich plastisch (permanent) zu verformen, wenn es in eine Richtung gezogen wird. Es dient als Benchmark für die Festigkeitsgrenze des Materials vor einer dauerhaften Verformung.

Signs and relationships

(\sigma_1 - \sigma_3): Diese Differenz stellt den Durchmesser des größten Mohrschen Spannungskreises für den gegebenen Spannungszustand dar. Eine größere Differenz deutet auf einen größeren Bereich von Normalspannungen hin, was direkt einer größeren maximalen Schubspannung entspricht.
/2: Das Teilen der Differenz zwischen der maximalen und minimalen Hauptspannung durch zwei ergibt den Radius des größten Mohrschen Spannungskreises, was genau die maximale Schubspannung ist.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Alle Terme im Tresca-Kriterium repraesentieren Spannung und muessen in konsistenten Einheiten von Kraft pro Flaecheneinheit ausgedrueckt werden, um dimensionale Homogenitaet zu erhalten.

Dimension note

Diese Gleichung ist nicht dimensionslos; sie beschreibt eine Beziehung zwischen Spannungsgrössen.

Ballpark figures

Quantity:

Where it shows up

Real-World Context

Ingenieure, die Radbaugruppen für Achterbahnen konstruieren, müssen sicherstellen, dass die Stahlachsen bei Kurvenfahrten mit hoher G-Belastung keine dauerhafte Verformung erfahren. Durch die Berechnung der Spannungen, die durch das Gewicht des Zuges und die Zentrifugalkräfte entstehen, stellen sie sicher, dass das Achsmaterial innerhalb seiner Elastizitätsgrenze bleibt.

Study smarter

Tips

Identifiziere die Hauptspannungen ( $σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}$ ) korrekt und stelle sicher, dass $σ_{1} \geq σ_{2} \geq σ_{3}$ gilt, um die maximale Schubspannung korrekt zu berechnen.
Das Tresca-Kriterium ist im Allgemeinen konservativer als das Von-Mises-Kriterium, das heißt, es sagt Fließen bei niedrigeren Spannungsniveaus voraus.
Denke daran, dass $σ_{y}$ die Streckgrenze aus einem einachsigen Zugversuch ist.
Achte auf konsistente Einheiten für alle Spannungswerte.

Common questions

Frequently Asked Questions

Das Tresca-Fließkriterium besagt, dass Fließen eintritt, wenn die maximale Schubspannung in einem Material die Hälfte seiner einaxialen Streckgrenze erreicht.

Verwende dieses Kriterium zur Vorhersage des Fließbeginns in duktilen Materialien unter komplexen Spannungszuständen, insbesondere wenn ein konservativer Auslegungsansatz bevorzugt wird. Es ist besonders anwendbar, wenn das Materialverhalten stark durch Schubspannung bestimmt wird, etwa bei Torsion oder dünnwandigen Druckbehältern.

Die Vorhersage des Fließbeginns ist entscheidend, um die strukturelle Integrität zu gewährleisten und katastrophale Ausfälle von Bauteilen zu verhindern. Das Tresca-Kriterium ermöglicht Ingenieuren die Auslegung von Teilen, die aufgebrachte Lasten sicher ohne bleibende Verformung aufnehmen können. Das ist in Bereichen wie Maschinenbau, Bauingenieurwesen und Luft- und Raumfahrt bei Komponenten von Wellen bis Druckbehältern von zentraler Bedeutung.

Identifiziere die Hauptspannungen ($\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$) korrekt und stelle sicher, dass $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$ gilt, um die maximale Schubspannung korrekt zu berechnen. Das Tresca-Kriterium ist im Allgemeinen konservativer als das Von-Mises-Kriterium, das heißt, es sagt Fließen bei niedrigeren Spannungsniveaus voraus. Denke daran, dass $\sigma_y$ die Streckgrenze aus einem einachsigen Zugversuch ist. Achte auf konsistente Einheiten für alle Spannungswerte.

References

Sources

Mechanics of Materials by Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston Jr., John T. DeWolf, and David F. Mazurek
Mechanics of Materials by R. C. Hibbeler
Wikipedia: Tresca criterion
Shigley's Mechanical Engineering Design
Mechanics of Materials (Hibbeler)
Wikipedia: Tresca yield criterion
Mechanics of Materials by Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek
Fundamentals of Machine Component Design by Juvinall and Marshek