Teorema del Rango y Nulidad Calculator

Formula first

Overview

En el contexto de una transformación lineal T: V → W donde V es de dimensión finita, este teorema proporciona una restricción fundamental sobre la relación entre las dimensiones del núcleo y la imagen.

Symbols

Variables

$\dim$(V) = Dimension of Domain, $\text{rank}$(T) = Rank, $\text{nullity}$(T) = Nullity

Apply it well

When To Use

When to use: Este teorema es la herramienta más fundamental en álgebra lineal a nivel universitario para determinar las dimensiones de los subespacios asociados con las transformaciones lineales.

Why it matters: Vincula el concepto de inyectividad (conectado a la nulidad) y sobreyectividad (conectado al rango) con la geometría del espacio de dominio.

Avoid these traps

Common Mistakes

• Confundir la dimensión del codominio (W) con la dimensión del dominio (V).
• Asumir que el teorema se aplica a transformaciones no lineales.

One free problem

Practice Problem

Dada una transformación lineal T: ℝ³ → ℝ² donde el núcleo es una línea que pasa por el origen (dimensión 1), calcule el rango de T.

Hint: La dimensión del dominio es 3. Si la nulidad es 1, use el teorema: Rango + Nulidad = Dim(V).

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

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Related Formulas

References

Sources

1. Axler, S. (2015). Linear Algebra Done Right.
2. Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right. Springer, 3rd ed., 2015.
3. Strang, Gilbert. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press, 5th ed., 2016.
4. Wikipedia: Rank-nullity theorem
5. Rank-nullity theorem (Wikipedia article)
6. Sheldon Axler Linear Algebra Done Right
7. Gilbert Strang Introduction to Linear Algebra
8. Wikipedia article 'Rank-nullity theorem'