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Convolution Theorem (Laplace) (Teorema de Convolución (Laplace))

Establece que la transformada de Laplace de una convolución de dos funciones es el producto de sus transformadas individuales.

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Core idea

Overview

Este teorema proporciona un método potente para encontrar transformadas inversas de Laplace de productos de funciones utilizando la integral de convolución.

When to use: Esencial para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas y analizar sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI).

Why it matters: Convierte la compleja operación de convolución en el dominio del tiempo en una simple multiplicación algebraica en el dominio de la frecuencia (s).

Symbols

Variables

F(s)G(s) = L{f * g}, F(s) = F(s), G(s) = G(s)

F(s)G(s)
L{f * g}
Transform of the convolution
F(s)
F(s)
Transform of the first function
G(s)
G(s)
Transform of the second function

Walkthrough

Derivation

Derivacion de Convolution Theorem (Laplace) (Teorema de Convolución (Laplace))

Esta derivación demuestra que la transformada de Laplace de la convolución de dos funciones es equivalente al producto de sus transformadas de Laplace individuales.

  • Las funciones f(t) y g(t) son a trozos continuas en [0, ∞) y de orden exponencial.
  • Las transformadas de Laplace F(s) = ℬ{f(t)} y G(s) = ℬ{g(t)} existen.
  • Se puede intercambiar el orden de integración (se aplica el Teorema de Fubini).
1

Comenzar con la definición de la transformada de Laplace de una convolución:

Comenzamos aplicando la definición de la transformada de Laplace a la convolución de dos funciones, f(t) y g(t), que es en sí misma una integral.

2

Cambiar el orden de integración:

La región de integración es 0 ≤ τ ≤ t < ∞. Al cambiar el orden de integración, reescribimos los límites para integrar con respecto a t primero, luego τ.

3

Realizar una sustitución en la integral interna:

Sea u = t - τ, entonces t = u + τ y dt = du. Esta sustitución transforma la integral interna en una forma que se asemeja a una transformada de Laplace.

4

Reconocer las transformadas de Laplace:

La integral interna es la definición de G(s) = ℬ{g(t)}. Al factorizar G(s) se deja la definición de F(s) = ℬ{f(t)}, demostrando así el teorema.

Result

Source: Kreyszig, E. (2011). Advanced Engineering Mathematics (10th ed.). John Wiley & Sons.

Free formulas

Rearrangements

Solve for F(s)G(s)

Despejar F(s)G(s)

Partir del teorema de la convolución (Laplace). La expresión F(s)G(s) ya está aislada, por lo que la tarea es identificarla como sujeto y presentarla en la notación de destino.

Difficulty: 1/5

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Visual intuition

Graph

Graph type: exponential

Why it behaves this way

Intuition

Este teorema proporciona una poderosa perspectiva de 'transformación de dominio', donde una operación compleja como la convolución en el dominio del tiempo se simplifica a una multiplicación algebraica sencilla en el dominio de la frecuencia.

Term
El operador de transformada de Laplace, que convierte una función del dominio del tiempo (t) al dominio de la frecuencia compleja (s).
Es como traducir el comportamiento de una señal a lo largo del tiempo a sus componentes de frecuencia, revelando su 'huella digital' espectral.
Term
La integral de convolución de dos funciones, f(t) y g(t). Describe cómo la forma de una función modifica la forma de otra, a menudo representando la salida de un sistema lineal.
Imagina 'mezclar' o 'difuminar' una función sobre otra, donde la segunda función dicta el ponderado o la influencia en cada punto.
Term
La transformada de Laplace de la función f(t), que representa f(t) en el dominio de la frecuencia compleja.
Esta es la 'firma' de f(t) en el dominio de la frecuencia, que detalla sus frecuencias constituyentes en lugar de su evolución temporal.
Term
La transformada de Laplace de la función g(t), que representa g(t) en el dominio de la frecuencia compleja.
Similar a F(s), esta es la 'firma' de g(t) en el dominio de la frecuencia.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Garantiza la consistencia dimensional entre la transformada de Laplace de una convolución y el producto de las transformadas de Laplace individuales, donde las unidades de la variable de Laplace 's' son tiempo inverso.

One free problem

Practice Problem

Dadas las transformadas individuales F(s) = 4 y G(s) = 8, calcule la transformada de Laplace de la convolución (f * g)(t).

Hint: Según el teorema, la transformada de la convolución es simplemente el producto de las transformadas individuales.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

En el caso de signal processing, the output of a system is the convolution of its input signal and its impulse response; this theorem allows us to find the output using multiplication in the s-domain.

Study smarter

Tips

  • La convolución f * g se define como la integral de 0 a t de f(τ)g(t-τ) dτ.
  • Recuerde que la convolución es conmutativa, lo que significa f * g = g * f.

Avoid these traps

Common Mistakes

  • Confundir la convolución f*g con el producto puntual f(t)g(t).
  • Olvidar que el teorema solo se aplica si las transformadas F(s) y G(s) existen para la misma región de convergencia.

Common questions

Frequently Asked Questions

Esta derivación demuestra que la transformada de Laplace de la convolución de dos funciones es equivalente al producto de sus transformadas de Laplace individuales.

Esencial para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas y analizar sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI).

Convierte la compleja operación de convolución en el dominio del tiempo en una simple multiplicación algebraica en el dominio de la frecuencia (s).

Confundir la convolución f*g con el producto puntual f(t)g(t). Olvidar que el teorema solo se aplica si las transformadas F(s) y G(s) existen para la misma región de convergencia.

En el caso de signal processing, the output of a system is the convolution of its input signal and its impulse response; this theorem allows us to find the output using multiplication in the s-domain.

La convolución f * g se define como la integral de 0 a t de f(τ)g(t-τ) dτ. Recuerde que la convolución es conmutativa, lo que significa f * g = g * f.

References

Sources

  1. Advanced Engineering Mathematics
  2. Wikipedia: Laplace transform
  3. Differential Equations with Boundary-Value Problems by Dennis G. Zill
  4. Dennis G. Zill, Warren S. Wright. Differential Equations with Boundary-Value Problems.
  5. Erwin Kreyszig. Advanced Engineering Mathematics.
  6. Wikipedia: Convolution theorem
  7. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics
  8. Boyce, DiPrima, and Meade, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems