Derivada (potencia)

Core idea

Overview

La regla de la potencia es un principio fundamental en cálculo utilizado para computar la derivada de una variable elevada a un exponente de número real constante. Establece que la pendiente de una función de potencia se determina multiplicando el término variable por su exponente actual y luego disminuyendo ese exponente exactamente en uno.

When to use: Aplica esta regla al diferenciar cualquier término de la forma xⁿ, donde n es un valor constante. Es válida para todos los números reales, incluidos enteros positivos, enteros negativos y exponentes fraccionarios que representan raíces.

Why it matters: Esta regla permite el cálculo rápido de las tasas de cambio sin depender de la tediosa definición de límite de las derivadas. Es esencial en física para derivar la aceleración a partir de la velocidad y en economía para determinar los costos y los ingresos marginales.

Symbols

Variables

n = Power n, x = Variable x, $\frac{d y}{d x}$ = Derivative value

n

Power n

Variable

x

Variable x

Variable

\frac{d y}{d x}

Derivative value

Variable

Walkthrough

Derivation

Derivación de la Regla de Potencia para la Diferenciación

La regla de potencia establece que la derivada de $x^{n}$ es n x^(n-1). Se puede derivar desde cero utilizando la expansión binomial.

n es un entero positivo para esta derivación (por lo que el teorema binomial da una expansión finita).
El límite cuando h tiende a 0 existe.

1

Comenzar desde los primeros principios:

Usar la definición de la derivada como un límite de un cociente de diferencias.

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{( x + h ) ^{n} - x ^{n}}{h}

2

Expandir (x+h)^n Usando el Teorema Binomial:

Expandir la expresión en términos con potencias crecientes de h.

(x + h)^{n} = x^{n} + n x^{n - 1} h + \frac{n ( n - 1 )}{2} x^{n - 2} h^{2} + \dots + h^{n}

3

Cancelar x^n y Dividir por h:

Restar $x^{n}$ cancela el primer término, dejando solo los términos que contienen h.

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{n x ^{n - 1} h + \frac{n ( n - 1 )}{2} x ^{n - 2} h ^{2} + \dots + h ^{n}}{h}

4

Tomar el Límite:

Cuando $h \to 0$ , todos los términos que aún contienen h se desvanecen, dejando solo el primer término.

f^{'} (x) = h \to 0 lim (n x^{n - 1} + \frac{n ( n - 1 )}{2} x^{n - 2} h + \dots + h^{n - 1})

5

Resultado Final:

Por lo tanto, $\frac{d}{d x} (x^{n}) = n x^{n - 1}$ .

f^{'} (x) = n x^{n - 1}

Result

f^{'} (x) = n x^{n - 1}

Source: AQA A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Why it behaves this way

Intuition

La derivada nx^(n-1) describe la pendiente de la línea tangente a la curva y=xn en cualquier punto dado x, ilustrando cómo cambia la inclinación de la curva a lo largo de su dominio.

Term

La tasa de cambio instantánea de una función con respecto a la variable x.

Te dice cuán rápido cambia el valor de la función para un cambio minúsculo en x, representando la inclinación de la gráfica de la función en un punto específico.

Term

Una función de potencia, donde x es la variable independiente y n es un exponente constante de número real.

Representa una curva cuya inclinación y curvatura dependen de los valores de n y x. Ejemplos comunes incluyen parábolas (x2) o cúbicas (x3).

Term

El exponente constante al que se eleva la variable x en la función original.

Dicta el 'orden' o 'grado' de la función de potencia e influye significativamente en su forma y tasa de crecimiento.

Term

La derivada de xn, que da la pendiente de la línea tangente a la curva y=xn en cualquier punto x.

Esta nueva función cuantifica la inclinación exacta de la curva original en cada punto de su recorrido.

Signs and relationships

n-1 (como el exponente en la derivada): El exponente disminuye en uno porque la diferenciación calcula la tasa de cambio, que es típicamente un orden o 'dimensión' inferior a la función original. Por ejemplo, la tasa de cambio de un área (x2)
n (como el coeficiente en la derivada): El exponente original 'n' se convierte en un factor multiplicador, escalando la tasa de cambio. Esto refleja cómo la magnitud del exponente original influye directamente en la inclinación de la derivada.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Esta regla describe cómo cambia la dimensión de una función potencia cuando se deriva con respecto a su variable base.

Dimension note

Si la variable x es adimensional (p. ej., un número puro, una razón), entonces $x^{n}$ también es adimensional, y su derivada nx^(n-1) seguirá siendo adimensional.

One free problem

Practice Problem

Calcula la tasa de cambio instantánea de la función f(x) = x³ en el punto donde x = 2.

Hint: Aplica la regla de la potencia nxⁿ⁻¹ sustituyendo 3 por n y 2 por x.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Al encontrar velocity from displacement equation, Derivative (power) se utiliza para calcular Derivative from Power n and Variable x. El resultado importa porque ayuda a interpretar la tasa de cambio local, la dirección o el efecto marginal en la situación original.

Study smarter

Tips

Multiplica el término por el exponente actual antes de reducir la potencia.
Resta exactamente uno al exponente, asegurando un cálculo cuidadoso con números negativos.
Convierte los signos radicales en exponentes fraccionarios antes de aplicar la regla.
Recuerda que la derivada de un término lineal x¹ es simplemente 1.

Avoid these traps

Common Mistakes

Integrar en lugar de diferenciar.
Olvidar n=0 para las constantes.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

La regla de potencia establece que la derivada de x^n es n x^(n-1). Se puede derivar desde cero utilizando la expansión binomial.

Aplica esta regla al diferenciar cualquier término de la forma xⁿ, donde n es un valor constante. Es válida para todos los números reales, incluidos enteros positivos, enteros negativos y exponentes fraccionarios que representan raíces.

Esta regla permite el cálculo rápido de las tasas de cambio sin depender de la tediosa definición de límite de las derivadas. Es esencial en física para derivar la aceleración a partir de la velocidad y en economía para determinar los costos y los ingresos marginales.

Integrar en lugar de diferenciar. Olvidar n=0 para las constantes.

Al encontrar velocity from displacement equation, Derivative (power) se utiliza para calcular Derivative from Power n and Variable x. El resultado importa porque ayuda a interpretar la tasa de cambio local, la dirección o el efecto marginal en la situación original.

Multiplica el término por el exponente actual antes de reducir la potencia. Resta exactamente uno al exponente, asegurando un cálculo cuidadoso con números negativos. Convierte los signos radicales en exponentes fraccionarios antes de aplicar la regla. Recuerda que la derivada de un término lineal x¹ es simplemente 1.

References

Sources

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals.
Wikipedia: Power rule
Stewart, Calculus: Early Transcendentals
Halliday, Resnick, and Walker, Fundamentals of Physics
Thomas' Calculus: Early Transcendentals, 14th Edition by George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, and Joel Hass
AQA A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Overview

Variables

Derivation

Comenzar desde los primeros principios:

Expandir (x+h)^n Usando el Teorema Binomial:

Cancelar x^n y Dividir por h:

Tomar el Límite:

Resultado Final:

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Integral of x^n

Frequently Asked Questions

Sources