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Función de Gasto

Determina el gasto mínimo requerido para lograr un nivel de utilidad dado a precios específicos.

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Core idea

Overview

La función de gasto, denotada como $e(\mathbf{p}, u)$, es un concepto fundamental en microeconomía que representa el costo mínimo para alcanzar un nivel específico de utilidad ($u$) dada una canasta de precios ($\mathbf{p}$) para los bienes. Se deriva del problema de maximización de la utilidad del consumidor y es crucial para comprender el comportamiento del consumidor, el análisis de bienestar y la dualidad entre la maximización de la utilidad y la minimización del gasto. *Para el propósito de esta calculadora, la función de utilidad subyacente y la canasta de consumo se simplifican para permitir la manipulación algebraica directa del precio, la utilidad y el gasto.*

When to use: Aplique esta función cuando necesite calcular el costo más bajo posible para alcanzar un nivel de utilidad objetivo, dados los precios de mercado. Es particularmente útil en la economía del bienestar para medir el costo de vida, las compensaciones y variaciones equivalentes, o para diseñar programas de subsidios óptimos.

Why it matters: La función de gasto es fundamental para el análisis de bienestar, permitiendo a los economistas cuantificar el valor monetario de los cambios en la utilidad o los precios. Sustenta la derivación de las funciones de demanda Hicksiana (compensada) y proporciona una herramienta poderosa para comprender cómo los consumidores ajustan su gasto para mantener un cierto nivel de vida en medio de los cambios de precios, sin ser confundidos por los efectos del ingreso.

Symbols

Variables

p = Price (simplified), u = Utility Level, x = Quantity (simplified), U = Utility Function (simplified), e = Minimum Expenditure

Price (simplified)
$
Utility Level
utils
Quantity (simplified)
units
Utility Function (simplified)
function
Minimum Expenditure
$

Walkthrough

Derivation

Fórmula: Función de Gasto

La función de gasto define el costo mínimo para alcanzar un nivel de utilidad específico dados los precios.

  • Las preferencias del consumidor son racionales, completas, transitivas, continuas y localmente no saciadas.
  • Los precios son positivos y fijos.
  • La función de utilidad es continua y cuasicóncava.
  • El consumidor busca minimizar el gasto sujeto a alcanzar un nivel de utilidad objetivo.
1

Defina el Problema de Minimización del Gasto:

El consumidor elige una canasta de consumo para minimizar el gasto total , sujeto a alcanzar al menos un nivel de utilidad objetivo de la función de utilidad .

2

Formule el Lagrangiano:

El Lagrangiano se formula para resolver este problema de optimización con restricciones, donde es el multiplicador de Lagrange que representa el costo marginal de aumentar la utilidad.

3

Condiciones de Primer Orden (CPO):

Las CPO implican que en el óptimo, la relación entre la utilidad marginal y el precio es igual para todos los bienes, y es igual a la inversa del multiplicador de Lagrange (la utilidad marginal del dinero).

4

Resuelva las Demandas de Hicks:

Resolver las CPO produce las funciones de demanda de Hicks (o compensadas), que muestran la cantidad de cada bien demandado como función de los precios y el nivel de utilidad objetivo.

5

Sustituya en la Función de Gasto:

Sustituya las funciones de demanda de Hicks de vuelta en la función objetivo de gasto para obtener el gasto mínimo requerido para alcanzar la utilidad a los precios .

Result

Source: Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. 3rd ed. W. W. Norton & Company, 1992. Chapter 3: Consumer Choice.

Why it behaves this way

Intuition

Visualice una superficie multidimensional donde cada punto representa una combinación de bienes y su altura representa el costo total. La función de gasto encuentra el punto más bajo en esta superficie de costos que aún se encuentra en

Term
El gasto total mínimo requerido para alcanzar un nivel específico de utilidad.
Le dice la forma más barata absoluta de alcanzar un nivel de satisfacción deseado dados los precios de mercado actuales.
Term
Un vector que representa los precios de mercado de todos los bienes disponibles.
Cuánto cuesta cada artículo individualmente.
Term
Un nivel de utilidad o satisfacción objetivo específico que el consumidor desea alcanzar.
La cantidad deseada de 'felicidad' o bienestar.
Term
Un vector que representa las cantidades de varios bienes consumidos.
La cesta de compras específica de bienes que un consumidor compra.
Term
El costo monetario total de una canasta de consumo \mathbf{x}, calculado como la suma de (precio del bien i * cantidad del bien i) para todos los bienes.
Su factura total en la caja por un conjunto específico de compras.
Term
La función de utilidad, que cuantifica la satisfacción total o el bienestar derivado del consumo de una canasta específica de bienes \mathbf{x}.
Cuánta satisfacción obtiene de una cesta de compras en particular.
Term
La operación matemática de encontrar el valor más pequeño posible de la función objetivo (gasto total) seleccionando la canasta de consumo óptima \mathbf{x}.
Usted está buscando activamente la forma más económica absoluta de satisfacer sus necesidades.
Term
Una restricción que asegura que la canasta de consumo elegida \mathbf{x} proporcione al menos el nivel de utilidad objetivo u.
La satisfacción que obtiene de sus compras debe ser igual o mayor que su nivel de felicidad deseado.

Free study cues

Insight

Canonical usage

El gasto y los precios se expresan en una unidad monetaria coherente, mientras que la utilidad generalmente se trata como una medida ordinal sin unidades.

Dimension note

El nivel de utilidad (u) y la producción de la función de utilidad (U(x)) generalmente se consideran adimensionales o se les asignan unidades arbitrarias ('utils').

One free problem

Practice Problem

Using the simplified expenditure model , if a good is priced at per unit and the target utility level is , what is the minimum expenditure required?

Hint: Utilice la función de gasto para Cobb-Douglas: .

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Los gobiernos lo usan para calcular el costo de mantener un determinado nivel de vida para los hogares de bajos ingresos, orientando las políticas de reducción de la pobreza.

Study smarter

Tips

  • La función de gasto es no decreciente en los precios y creciente en la utilidad.
  • Es cóncava en los precios, lo que refleja que un consumidor puede sustituir los bienes relativamente más caros.
  • El Lema de Shephard establece que la demanda Hicksiana de un bien es la derivada parcial de la función de gasto con respecto al precio de ese bien.
  • La función de gasto es homogénea de grado uno en los precios (duplicar todos los precios duplica el gasto mínimo).

Avoid these traps

Common Mistakes

  • Confundir la función de gasto con la función de utilidad indirecta (son inversas).
  • Asumir incorrectamente una función de utilidad específica al derivar o aplicar la función.
  • Interpretar erróneamente el operador 'min' como un cálculo algebraico simple en lugar de un problema de optimización.

Common questions

Frequently Asked Questions

La función de gasto define el costo mínimo para alcanzar un nivel de utilidad específico dados los precios.

Aplique esta función cuando necesite calcular el costo más bajo posible para alcanzar un nivel de utilidad objetivo, dados los precios de mercado. Es particularmente útil en la economía del bienestar para medir el costo de vida, las compensaciones y variaciones equivalentes, o para diseñar programas de subsidios óptimos.

La función de gasto es fundamental para el análisis de bienestar, permitiendo a los economistas cuantificar el valor monetario de los cambios en la utilidad o los precios. Sustenta la derivación de las funciones de demanda Hicksiana (compensada) y proporciona una herramienta poderosa para comprender cómo los consumidores ajustan su gasto para mantener un cierto nivel de vida en medio de los cambios de precios, sin ser confundidos por los efectos del ingreso.

Confundir la función de gasto con la función de utilidad indirecta (son inversas). Asumir incorrectamente una función de utilidad específica al derivar o aplicar la función. Interpretar erróneamente el operador 'min' como un cálculo algebraico simple en lugar de un problema de optimización.

Los gobiernos lo usan para calcular el costo de mantener un determinado nivel de vida para los hogares de bajos ingresos, orientando las políticas de reducción de la pobreza.

La función de gasto es no decreciente en los precios y creciente en la utilidad. Es cóncava en los precios, lo que refleja que un consumidor puede sustituir los bienes relativamente más caros. El Lema de Shephard establece que la demanda Hicksiana de un bien es la derivada parcial de la función de gasto con respecto al precio de ese bien. La función de gasto es homogénea de grado uno en los precios (duplicar todos los precios duplica el gasto mínimo).

References

Sources

  1. Hal R. Varian, Microeconomic Analysis
  2. Walter Nicholson and Christopher Snyder, Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions
  3. Wikipedia: Expenditure function
  4. Mas-Colell, Whinston, and Green, Microeconomic Theory
  5. Hal R. Varian Microeconomic Analysis
  6. Walter Nicholson, Christopher Snyder Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions
  7. Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston, Jerry R. Green Microeconomic Theory
  8. Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. 3rd ed. W. W. Norton & Company, 1992. Chapter 3: Consumer Choice.