Fórmula de Flexión (Esfuerzo de Flexión)

Core idea

Overview

Esta fórmula asume que el material de la viga es lineal-elástico, isotrópico y homogéneo, con una sección transversal simétrica respecto al plano de flexión. Relaciona el momento interno con la distribución de esfuerzos a lo largo de la profundidad del elemento, mostrando que el esfuerzo varía linealmente con la distancia desde el eje neutro. El signo negativo es una convención que indica que un momento positivo causa compresión en las fibras superiores de una viga simplemente apoyada.

When to use: Úsela para determinar el esfuerzo normal interno en una viga sometida a flexión pura o flexión combinada con otras cargas.

Why it matters: Es fundamental para la seguridad estructural, asegurando que el esfuerzo de flexión inducido no exceda la resistencia a la fluencia o el esfuerzo admisible del material.

Symbols

Variables

sigma = Bending Stress, M = Bending Moment, y = Distance from Neutral Axis, I = Moment of Inertia

sigma

Bending Stress

Variable

M

Bending Moment

Variable

y

Distance from Neutral Axis

Variable

I

Moment of Inertia

Variable

Walkthrough

Derivation

Derivación de la Fórmula de Flexión (Esfuerzo por Flexión)

Esta derivación relaciona el momento flector interno de una viga con el esfuerzo normal interno, imponiendo compatibilidad geométrica (deformación lineal) y comportamiento constitutivo (Ley de Hooke).

La viga es inicialmente recta y prismática.
El material es lineal-elástico, homogéneo e isotrópico.
Las secciones planas permanecen planas y perpendiculares al eje longitudinal después de la flexión (hipótesis de Bernoulli-Euler).
La viga está sometida a flexión pura.

1

Relación Cinemática (Deformación Unitaria)

Suponiendo un radio de curvatura $ρ$ , la deformación longitudinal $ϵ_{x}$ varía linealmente con la distancia $y$ desde el eje neutro.

ϵ_{x} = - \frac{y}{ρ}

Note: El signo negativo indica que para una flexión positiva (cóncava hacia arriba), las fibras por encima del eje neutro están en compresión.

2

Relación Constitutiva (Ley de Hooke)

Aplicando la Ley de Hooke ( $σ = E ϵ$ ), expresamos el esfuerzo en función del módulo elástico $E$ y la curvatura.

σ_{x} = E ϵ_{x} = - \frac{E y}{ρ}

Note: Esto supone que el material se encuentra dentro del rango elástico lineal.

3

Equilibrio de Momento

El momento interno $M$ es la integral del momento generado por la distribución de esfuerzos sobre el área de la sección transversal $A$ .

M = \int_{A} - y σ_{x} d A = \int_{A} - y (- \frac{E y}{ρ}) d A = \frac{E}{ρ} \int_{A} y^{2} d A

Note: La integral $\int y^{2} d A$ se define como el momento de inercia del área $I$ .

4

Relacionando Momento y Curvatura

Reemplazamos la integral con $I$ para resolver el término de curvatura $1/ ρ$ en función del momento aplicado.

M = \frac{E I}{ρ} ⟹ \frac{1}{ρ} = \frac{M}{E I}

Note: El término $E I$ se conoce como la rigidez a flexión de la viga.

5

Fórmula final de flexión

Sustituya la expresión de curvatura nuevamente en la ecuación de esfuerzo para obtener la fórmula final.

σ = - \frac{E y}{E I} \cdot \frac{M}{1} = - \frac{M y}{I}

Note: Asegúrese siempre de que las unidades sean consistentes (por ejemplo, N/mm² para MPa).

Result

σ = - \frac{E y}{E I} \cdot \frac{M}{1} = - \frac{M y}{I}

Source: Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. (2015). Mechanics of Materials.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $σ$

Despejar $σ$

σ = - \frac{M y}{I}

La fórmula ya se expresa con $σ$ como sujeto.

Difficulty: 1/5

Solve for $M$

Despejar M

M = - \frac{σ I}{y}

Reorganice la ecuación para aislar el momento flector M multiplicando ambos lados por I y dividiendo por y negativo.

Difficulty: 2/5

Solve for $I$

Despejar I

I = - \frac{M y}{σ}

Reorganice para resolver el momento de inercia I multiplicando por I y dividiendo por sigma.

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

Imagina doblar una goma de borrar gruesa. Al doblarla, el lado exterior se estira (tracción) y el lado interior se comprime. El eje neutro (el plano central) permanece sin estirar. La ecuación describe esto como una 'rampa' lineal de tensión: cuanto más te alejas del centro (y), más el material debe estirarse o aplastarse para acomodar la curvatura, con la pendiente de esta rampa determinada por el momento (M) y la resistencia de la forma (I).

Term

Tensión de Flexión

La 'fuerza de empuje' o 'tirón' interna por unidad de área que actúa sobre las fibras del material en una ubicación específica.

Term

Momento Flector

La 'fuerza de torsión' aplicada a la viga; un M mayor crea una lucha interna más intensa entre tracción y compresión.

Term

Distancia Centroidal

El 'brazo de palanca'; qué tan lejos estás de la línea central donde no hay tensión.

Term

Momento de Inercia de Área

La 'rigidez' geométrica; mide qué tan eficientemente la forma distribuye el material lejos del centro para resistir la flexión.

Signs and relationships

Signo negativo (-): Esta es una convención de signos: asegura que para un momento flector positivo (que causa una curvatura cóncava hacia arriba), los puntos por encima del eje neutro (y positivo) resultan en tensión negativa (compresión), mientras que los puntos debajo (y negativo) resultan en tensión positiva (tracción).

One free problem

Practice Problem

Una viga tiene un momento de inercia I = 5000 cm^4 y está sometida a un momento flector M = 10 kN-m. Calcule el esfuerzo de flexión en un punto a 10 cm del eje neutro.

Hint: Convierta todas las unidades a Newtons y milímetros para mantener la consistencia (N/mm^2 = MPa).

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

En el contexto de stress at the top and bottom edges of a steel I-beam supporting a bridge deck to ensure the steel does not yield under traffic loads, Flexure Formula (Bending Stress) se utiliza para calcular Bending Stress from Bending Moment and Distance from Neutral Axis. El resultado importa porque ayuda a estimar la probabilidad y formular un juicio de riesgo o decisión en lugar de tratar el número como certeza.

Study smarter

Tips

Asegúrese de que la distancia 'y' se mida desde el eje neutro centroidal de la sección transversal.
Verifique que las unidades para M, y, e I sean consistentes (generalmente N, mm y mm^4).
Recuerde que el esfuerzo máximo ocurre en las fibras más externas (máximo 'y').

Avoid these traps

Common Mistakes

Usar el Momento de Inercia (I) incorrecto para el eje de flexión específico.
Confundir la distancia desde la superficie exterior con la distancia desde el eje neutro.

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Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

Esta derivación relaciona el momento flector interno de una viga con el esfuerzo normal interno, imponiendo compatibilidad geométrica (deformación lineal) y comportamiento constitutivo (Ley de Hooke).

Úsela para determinar el esfuerzo normal interno en una viga sometida a flexión pura o flexión combinada con otras cargas.

Es fundamental para la seguridad estructural, asegurando que el esfuerzo de flexión inducido no exceda la resistencia a la fluencia o el esfuerzo admisible del material.

Usar el Momento de Inercia (I) incorrecto para el eje de flexión específico. Confundir la distancia desde la superficie exterior con la distancia desde el eje neutro.

En el contexto de stress at the top and bottom edges of a steel I-beam supporting a bridge deck to ensure the steel does not yield under traffic loads, Flexure Formula (Bending Stress) se utiliza para calcular Bending Stress from Bending Moment and Distance from Neutral Axis. El resultado importa porque ayuda a estimar la probabilidad y formular un juicio de riesgo o decisión en lugar de tratar el número como certeza.

Asegúrese de que la distancia 'y' se mida desde el eje neutro centroidal de la sección transversal. Verifique que las unidades para M, y, e I sean consistentes (generalmente N, mm y mm^4). Recuerde que el esfuerzo máximo ocurre en las fibras más externas (máximo 'y').

References

Sources

Hibbeler, R. C. (2017). Mechanics of Materials.
Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. (2014). Mechanics of Materials.
Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. (2015). Mechanics of Materials.

Overview

Variables

Derivation

Relación Cinemática (Deformación Unitaria)

Relación Constitutiva (Ley de Hooke)

Equilibrio de Momento

Relacionando Momento y Curvatura

Fórmula final de flexión

Rearrangements

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

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Section Modulus

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