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Teorema de Green

Relaciona una integral de línea alrededor de una curva cerrada con una integral doble sobre la región que encierra.

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\oint_{C} (L d x + M d y) = \iint_{D} (\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}) d A

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Core idea

Overview

El Teorema de Green establece una conexión fundamental entre la integral de línea alrededor de una curva cerrada simple y la integral doble sobre la región plana que encierra. Es esencialmente una versión bidimensional del Teorema de Stokes y se utiliza para relacionar la rotación o circulación local en un campo vectorial con el rizo neto sobre un área.

When to use: Aplique este teorema al evaluar una integral de línea sobre una curva cerrada, suave a trozos en el plano xy donde la integral de área del rotacional es más fácil de calcular. Requiere que las funciones componentes L y M tengan derivadas parciales de primer orden continuas en toda la región acotada por la curva.

Why it matters: Es esencial para calcular el trabajo y la circulación en física y dinámica de fluidos sin necesidad de parametrizar individualmente caminos de contorno complejos. También proporciona una base matemática para usar integrales de línea para calcular el área de formas irregulares, que es el principio operativo detrás del planímetro.

Symbols

Variables

$Concept-only$ = Note

Concept-only

Note

Variable

Walkthrough

Derivation

Demostración del teorema de Green para una región simple

Probamos el teorema de Green para una región simple de tipo I y tipo II evaluando la integral de línea sobre el límite y demostrando que es igual a la integral doble de las derivadas parciales.

C es una curva cerrada simple, suave a trozos y positivamente orientada.
P(x,y) y Q(x,y) tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a D.

1. Descomponer la integral

Podemos probar el teorema en dos partes independientes: demostrando que $\oint L d x = - \iint \frac{\partial L}{\partial y} d A$ y $\oint M d y = \iint \frac{\partial M}{\partial x} d A$ .

\oint_{C} (L d x + M d y) = \oint_{C} L d x + \oint_{C} M d y

2. Configurar la integral de área para L

Suponga que la región $D$ está limitada por $y = g_{1} (x)$ en la parte inferior y $y = g_{2} (x)$ en la parte superior, entre $x = a$ y $x = b$ .

\iint_{D} \frac{\partial L}{\partial y} d A = \int_{a}^{b} \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} \frac{\partial L}{\partial y} d y d x

3. Aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo

Integrar la derivada parcial $\frac{\partial L}{\partial y}$ con respecto a $y$ simplemente produce la función $L$ evaluada en los límites superior e inferior.

\int_{a}^{b} [L (x, g_{2} (x)) - L (x, g_{1} (x))] d x

4. Relacionar con la integral de línea

La integral de línea a lo largo del camino inferior $g_{1}$ va desde $a$ hasta $b$ , mientras que el camino superior $g_{2}$ va hacia atrás desde $b$ hasta $a$ (para mantener la orientación en sentido antihorario). Invertir los límites de la integral superior cambia su signo.

- \oint_{C} L (x, y) d x = - (\int_{a}^{b} L (x, g_{1} (x)) d x + \int_{b}^{a} L (x, g_{2} (x)) d x)

5. Conclusión

Combinar los dos resultados derivados mediante una lógica idéntica aplicada a los ejes $x$ y $y$ produce el enunciado final del teorema de Green.

\oint_{C} L d x = - \iint_{D} \frac{\partial L}{\partial y} d A and \oint_{C} M d y = \iint_{D} \frac{\partial M}{\partial x} d A

Result

\oint_{C} L d x = - \iint_{D} \frac{\partial L}{\partial y} d A and \oint_{C} M d y = \iint_{D} \frac{\partial M}{\partial x} d A

Source: Standard curriculum — Vector Calculus

Free formulas

Rearrangements

Solve for $\oint P d x + Q d y$

Despejar oint P dx + Q dy

\oint P d x + Q d y = \iint (Q_{x} - P_{y}) d A

Esta reordenación demuestra variaciones de notación comunes del teorema de Green, transformando la forma inicial usando $L$ y $M$ a una forma más compacta usando $P$ , $Q$ y notación de subíndice para derivadas parciales.

Difficulty: 2/5

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Why it behaves this way

Intuition

Imagine una región en el plano llena de un fluido en movimiento; el Teorema de Green establece que la rotación neta total del fluido dentro de toda la región es exactamente igual al flujo neto del fluido a lo largo de su frontera exterior.

Term

La circulación total del campo vectorial 2D F = <L, M> alrededor de la curva cerrada simple C.

Mide el 'empuje' o 'flujo' neto del campo vectorial a lo largo de la frontera C. Imagine una pequeña rueda de paletas en la curva; este término cuantifica su giro neto a medida que recorre toda la frontera.

Term

La componente z del rotacional 2D del campo vectorial F = <L, M>, que representa la densidad de circulación infinitesimal en un punto.

Cuantifica la 'rotación local' o 'remolino' del campo vectorial en un punto infinitesimal dentro de la región. Un valor positivo indica típicamente una rotación en sentido antihorario.

Term

La suma total de todas las circulaciones infinitesimales (rotacional) sobre toda la región D encerrada por C.

Agrega todos los pequeños 'remolinos' o 'rotaciones' que ocurren en cada punto dentro de la región D para obtener una medida total de la rotación interna.

Signs and relationships

(∂ M / ∂ x - ∂ L / ∂ y): Esta diferencia específica define el rotacional escalar (o componente z del rotacional 2D) del campo vectorial F = <L, M>. El orden de la resta es crucial y corresponde a la orientación antihoraria de la circulación.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Se utiliza para relacionar una integral de línea alrededor de una curva cerrada con una integral doble sobre la región encerrada, donde ambos lados de la ecuación deben mantener dimensiones físicas consistentes determinadas por la naturaleza del vector

One free problem

Practice Problem

Evalúe la integral de línea ∮_C (y² dx + x² dy) donde C es el contorno del rectángulo definido por 0 ≤ x ≤ 2 y 0 ≤ y ≤ 3, orientado en sentido antihorario.

Hint: Convierta la integral de línea en una integral doble de la expresión (∂M/∂x − ∂L/∂y) sobre la región rectangular.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

En el caso de work done by a force field, Green's Theorem se utiliza para calcular Concept-only de los valores medidos. El resultado importa porque ayuda a convertir una cantidad variable en un total como área, distancia, volumen, trabajo o costo.

Study smarter

Tips

Asegúrese de que la curva esté cerrada y orientada en sentido antihorario para un resultado positivo.
Verifique que las funciones del campo vectorial sean continuas en toda la región encerrada por la curva.
Utilice la identidad donde el área es igual a la integral de línea de x dy o -y dx para simplificar problemas de área.
Verifique que la región esté simplemente conexa antes de aplicar la forma estándar del teorema.

Avoid these traps

Common Mistakes

Usar para curvas abiertas.
Signo incorrecto (orientación en sentido horario).

Common questions

Frequently Asked Questions

Probamos el teorema de Green para una región simple de tipo I y tipo II evaluando la integral de línea sobre el límite y demostrando que es igual a la integral doble de las derivadas parciales.

Aplique este teorema al evaluar una integral de línea sobre una curva cerrada, suave a trozos en el plano xy donde la integral de área del rotacional es más fácil de calcular. Requiere que las funciones componentes L y M tengan derivadas parciales de primer orden continuas en toda la región acotada por la curva.

Es esencial para calcular el trabajo y la circulación en física y dinámica de fluidos sin necesidad de parametrizar individualmente caminos de contorno complejos. También proporciona una base matemática para usar integrales de línea para calcular el área de formas irregulares, que es el principio operativo detrás del planímetro.

Usar para curvas abiertas. Signo incorrecto (orientación en sentido horario).

Asegúrese de que la curva esté cerrada y orientada en sentido antihorario para un resultado positivo. Verifique que las funciones del campo vectorial sean continuas en toda la región encerrada por la curva. Utilice la identidad donde el área es igual a la integral de línea de x dy o -y dx para simplificar problemas de área. Verifique que la región esté simplemente conexa antes de aplicar la forma estándar del teorema.

References

Sources

Calculus: Early Transcendentals by James Stewart
Vector Calculus by Jerrold E. Marsden and Anthony J. Tromba
Wikipedia: Green's theorem
Stewart, Calculus: Early Transcendentals
Halliday, Resnick, and Walker, Fundamentals of Physics
Bird, Stewart, and Lightfoot, Transport Phenomena
Britannica, Green's theorem
Wikipedia, Green's theorem

Teorema de Green

Overview

Variables

Derivation

1. Descomponer la integral

2. Configurar la integral de área para L

3. Aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo

4. Relacionar con la integral de línea

5. Conclusión

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Divergence Theorem

Curl (concept)

Frequently Asked Questions

Sources