Théorème de Green Calculator
Relie une intégrale curviligne autour d'une courbe fermée à une intégrale double sur la région qu'elle enferme.
Formula first
Overview
Le théorème de Green établit un lien fondamental entre l'intégrale curviligne autour d'une courbe fermée simple et l'intégrale double sur la région plane qu'elle enferme. Il s'agit essentiellement d'une version bidimensionnelle du théorème de Stokes et il est utilisé pour relier la rotation locale ou la circulation dans un champ vectoriel au rotationnel net sur une aire.
Symbols
Variables
= Note
Apply it well
When To Use
When to use: Appliquez ce théorème lorsque vous évaluez une intégrale curviligne sur une courbe fermée, simple et par morceaux régulière dans le plan xy, et que l'intégrale de surface du rotationnel est plus facile à calculer. Il exige que les fonctions composantes L et M aient des dérivées partielles du premier ordre continues sur toute la région délimitée par la courbe.
Why it matters: Il est essentiel pour calculer le travail et la circulation en physique et en mécanique des fluides sans avoir à paramétrer individuellement des trajectoires de bord complexes. Il fournit aussi une base mathématique pour utiliser des intégrales curvilignes afin de calculer l'aire de formes irrégulières, ce qui correspond au principe de fonctionnement du planimètre.
Avoid these traps
Common Mistakes
- L'utiliser pour des courbes ouvertes.
- Mauvais signe (orientation horaire).
One free problem
Practice Problem
Évaluez l'intégrale curviligne ∮_C (y² dx + x² dy) où C est le bord du rectangle défini par 0 ≤ x ≤ 2 et 0 ≤ y ≤ 3, orienté dans le sens trigonométrique.
Hint: Transformez l'intégrale curviligne en une intégrale double de l'expression (∂M/∂x − ∂L/∂y) sur la région rectangulaire.
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
References
Sources
- Calculus: Early Transcendentals by James Stewart
- Vector Calculus by Jerrold E. Marsden and Anthony J. Tromba
- Wikipedia: Green's theorem
- Stewart, Calculus: Early Transcendentals
- Halliday, Resnick, and Walker, Fundamentals of Physics
- Bird, Stewart, and Lightfoot, Transport Phenomena
- Britannica, Green's theorem
- Wikipedia, Green's theorem