Théorème du rang Calculator

Formula first

Overview

Dans le contexte d’une application linéaire T: V → W où V est de dimension finie, ce théorème fournit une contrainte fondamentale sur la relation entre les dimensions du noyau et de l’image.

Symbols

Variables

$\dim$(V) = Dimension of Domain, $\text{rank}$(T) = Rank, $\text{nullity}$(T) = Nullity

Apply it well

When To Use

When to use: Ce théorème est l’outil le plus fondamental de l’algèbre linéaire universitaire pour déterminer les dimensions des sous-espaces associés aux transformations linéaires.

Why it matters: Il relie les notions d’injectivité (liée à la nullité) et de surjectivité (liée au rang) à la géométrie de l’espace de départ.

Avoid these traps

Common Mistakes

• Confondre la dimension du codomaine (W) avec celle du domaine (V).
• Supposer que le théorème s’applique à des transformations non linéaires.

One free problem

Practice Problem

Étant donnée une transformation linéaire T: ℝ³ → ℝ² dont le noyau est une droite passant par l’origine (dimension 1), calculez le rang de T.

Hint: La dimension du domaine est 3. Si la nullité vaut 1, utilisez le théorème : Rang + Nullité = Dim(V).

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Keep going

Related Formulas

References

Sources

1. Axler, S. (2015). Linear Algebra Done Right.
2. Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right. Springer, 3rd ed., 2015.
3. Strang, Gilbert. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press, 5th ed., 2016.
4. Wikipedia: Rank-nullity theorem
5. Rank-nullity theorem (Wikipedia article)
6. Sheldon Axler Linear Algebra Done Right
7. Gilbert Strang Introduction to Linear Algebra
8. Wikipedia article 'Rank-nullity theorem'