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Fonction de dépense

Détermine la dépense minimale nécessaire pour atteindre un niveau d’utilité donné à des prix spécifiques.

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Core idea

Overview

La fonction de dépense, notée $e(\mathbf{p}, u)$, est un concept fondamental de la microéconomie qui représente le coût minimal permettant d’atteindre un niveau d’utilité spécifique ($u$) étant donné un vecteur de prix ($\mathbf{p}$) pour les biens. Elle est dérivée du problème de maximisation de l’utilité du consommateur et est essentielle pour comprendre le comportement du consommateur, l’analyse du bien-être et la dualité entre maximisation de l’utilité et minimisation de la dépense. *Pour les besoins de ce calculateur, la fonction d’utilité sous-jacente et le panier de consommation sont simplifiés afin de permettre une manipulation algébrique directe du prix, de l’utilité et de la dépense.*

When to use: Appliquez cette fonction lorsque vous devez calculer le coût le plus faible pour atteindre un niveau d’utilité cible, compte tenu des prix du marché. Elle est particulièrement utile en économie du bien-être pour mesurer le coût de la vie, les variations compensatoires et équivalentes, ou pour concevoir des programmes de subventions optimaux.

Why it matters: La fonction de dépense est centrale dans l’analyse du bien-être, car elle permet aux économistes de quantifier la valeur monétaire des variations d’utilité ou de prix. Elle sous-tend la dérivation des fonctions de demande hicksiennes (compensées) et fournit un outil puissant pour comprendre comment les consommateurs ajustent leurs dépenses afin de maintenir un certain niveau de vie face aux variations de prix, sans être perturbés par les effets de revenu.

Symbols

Variables

p = Price (simplified), u = Utility Level, x = Quantity (simplified), U = Utility Function (simplified), e = Minimum Expenditure

Price (simplified)
$
Utility Level
utils
Quantity (simplified)
units
Utility Function (simplified)
function
Minimum Expenditure
$

Walkthrough

Derivation

Formule : Fonction de dépense

La fonction de dépense définit le coût minimum pour atteindre un niveau d'utilité spécifique étant donné les prix.

  • Les préférences des consommateurs sont rationnelles, complètes, transitives, continues et localement non saturées.
  • Les prix sont positifs et fixes.
  • La fonction d'utilité est continue et quasi-concave.
  • Le consommateur cherche à minimiser ses dépenses sous réserve d'atteindre un niveau d'utilité cible.
1

Définir le problème de minimisation de la dépense :

Le consommateur choisit un panier de consommation pour minimiser la dépense totale , sous réserve d'atteindre au moins un niveau d'utilité cible à partir de la fonction d'utilité .

2

Former le Lagrangien :

Le Lagrangien est mis en place pour résoudre ce problème d'optimisation sous contrainte, où est le multiplicateur de Lagrange représentant le coût marginal de l'augmentation de l'utilité.

3

Conditions du premier ordre (CPO) :

Les CPO impliquent qu'à l'optimum, le rapport entre l'utilité marginale et le prix est égal pour tous les biens, et égal à l'inverse du multiplicateur de Lagrange (l'utilité marginale de l'argent).

4

Résoudre pour les demandes hicksiennes :

La résolution des CPO donne les fonctions de demande hicksiennes (ou compensées), qui montrent la quantité de chaque bien demandée en fonction des prix et du niveau d'utilité cible.

5

Substituer dans la fonction de dépense :

Substituer les fonctions de demande hicksiennes dans la fonction objectif de dépense pour obtenir la dépense minimale requise pour atteindre l'utilité aux prix .

Result

Source: Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. 3rd ed. W. W. Norton & Company, 1992. Chapter 3: Consumer Choice.

Why it behaves this way

Intuition

Visualisez une surface multidimensionnelle où chaque point représente une combinaison de biens et sa hauteur représente le coût total. La fonction de dépense trouve le point le plus bas sur cette surface de coût qui se trouve encore sur

Term
La dépense totale minimale requise pour atteindre un niveau spécifique d'utilité.
Cela vous indique le moyen le moins cher absolu d'atteindre un niveau de satisfaction souhaité compte tenu des prix actuels du marché.
Term
Un vecteur représentant les prix du marché pour tous les biens disponibles.
Combien coûte chaque article individuel.
Term
Un niveau cible spécifique d'utilité ou de satisfaction que le consommateur souhaite atteindre.
La quantité souhaitée de « bonheur » ou de bien-être.
Term
Un vecteur représentant les quantités de divers biens consommés.
Le panier de courses spécifique de biens qu'un consommateur achète.
Term
Le coût monétaire total d'un panier de consommation \mathbf{x}, calculé comme la somme de (prix du bien i * quantité du bien i) pour tous les biens.
Votre facture totale à la caisse pour un ensemble spécifique d'achats.
Term
La fonction d'utilité, qui quantifie la satisfaction totale ou le bien-être dérivé de la consommation d'un panier spécifique de biens \mathbf{x}.
La satisfaction que vous retirez d'un panier de courses particulier.
Term
L'opération mathématique consistant à trouver la plus petite valeur possible de la fonction objectif (dépense totale) en sélectionnant le panier de consommation optimal \mathbf{x}.
Vous recherchez activement le moyen le moins cher absolu de satisfaire vos besoins.
Term
Une contrainte garantissant que le panier de consommation choisi \mathbf{x} fournit au moins le niveau d'utilité cible u.
La satisfaction que vous retirez de vos achats doit être égale ou supérieure à votre niveau de bonheur souhaité.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Les dépenses et les prix sont exprimés dans une unité monétaire cohérente, tandis que l'utilité est généralement traitée comme une mesure ordinale sans unité.

Dimension note

Le niveau d'utilité (u) et la sortie de la fonction d'utilité (U(x)) sont généralement considérés comme sans dimension ou assignés à des unités arbitraires (« utils »)

One free problem

Practice Problem

En utilisant le modèle de dépenses simplifié , si un bien est au prix de par unité et que le niveau d'utilité cible est de , quelle est la dépense minimale requise ?

Hint: Utilisez la fonction de dépense Cobb-Douglas : .

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Utilisée par les gouvernements pour calculer le coût du maintien d’un certain niveau de vie pour les ménages à faible revenu, afin d’éclairer les politiques de lutte contre la pauvreté.

Study smarter

Tips

  • La fonction de dépense est non décroissante par rapport aux prix et croissante par rapport à l’utilité.
  • Elle est concave en prix, ce qui reflète la possibilité pour un consommateur de substituer des biens devenus relativement plus chers.
  • Le lemme de Shephard affirme que la demande hicksienne d’un bien est la dérivée partielle de la fonction de dépense par rapport au prix de ce bien.
  • La fonction de dépense est homogène de degré un en prix (si tous les prix doublent, la dépense minimale double).

Avoid these traps

Common Mistakes

  • Confondre la fonction de dépense avec la fonction d’utilité indirecte (elles sont inverses).
  • Supposer incorrectement une fonction d’utilité spécifique lors de la dérivation ou de l’application de la fonction.
  • Mal interpréter l’opérateur 'min' comme un simple calcul algébrique plutôt qu’un problème d’optimisation.

Common questions

Frequently Asked Questions

La fonction de dépense définit le coût minimum pour atteindre un niveau d'utilité spécifique étant donné les prix.

Appliquez cette fonction lorsque vous devez calculer le coût le plus faible pour atteindre un niveau d’utilité cible, compte tenu des prix du marché. Elle est particulièrement utile en économie du bien-être pour mesurer le coût de la vie, les variations compensatoires et équivalentes, ou pour concevoir des programmes de subventions optimaux.

La fonction de dépense est centrale dans l’analyse du bien-être, car elle permet aux économistes de quantifier la valeur monétaire des variations d’utilité ou de prix. Elle sous-tend la dérivation des fonctions de demande hicksiennes (compensées) et fournit un outil puissant pour comprendre comment les consommateurs ajustent leurs dépenses afin de maintenir un certain niveau de vie face aux variations de prix, sans être perturbés par les effets de revenu.

Confondre la fonction de dépense avec la fonction d’utilité indirecte (elles sont inverses). Supposer incorrectement une fonction d’utilité spécifique lors de la dérivation ou de l’application de la fonction. Mal interpréter l’opérateur 'min' comme un simple calcul algébrique plutôt qu’un problème d’optimisation.

Utilisée par les gouvernements pour calculer le coût du maintien d’un certain niveau de vie pour les ménages à faible revenu, afin d’éclairer les politiques de lutte contre la pauvreté.

La fonction de dépense est non décroissante par rapport aux prix et croissante par rapport à l’utilité. Elle est concave en prix, ce qui reflète la possibilité pour un consommateur de substituer des biens devenus relativement plus chers. Le lemme de Shephard affirme que la demande hicksienne d’un bien est la dérivée partielle de la fonction de dépense par rapport au prix de ce bien. La fonction de dépense est homogène de degré un en prix (si tous les prix doublent, la dépense minimale double).

References

Sources

  1. Hal R. Varian, Microeconomic Analysis
  2. Walter Nicholson and Christopher Snyder, Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions
  3. Wikipedia: Expenditure function
  4. Mas-Colell, Whinston, and Green, Microeconomic Theory
  5. Hal R. Varian Microeconomic Analysis
  6. Walter Nicholson, Christopher Snyder Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions
  7. Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston, Jerry R. Green Microeconomic Theory
  8. Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. 3rd ed. W. W. Norton & Company, 1992. Chapter 3: Consumer Choice.