Équation de Hagen-Poiseuille | Equation, Derivation and Rearrangements

Core idea

Overview

Cette équation décrit les conditions d'écoulement laminaire où le fluide se déplace en couches parallèles sans perturbation entre elles. Elle relie la perte de charge sur la longueur d'une conduite au rayon de la conduite et à la viscosité du fluide. Le résultat fournit le taux auquel le volume de fluide traverse la section transversale par unité de temps.

When to use: Utilisez cette équation lors de l'analyse de l'écoulement laminaire d'un fluide newtonien visqueux et incompressible à travers une conduite de section circulaire constante.

Why it matters: Elle est essentielle pour comprendre le flux sanguin dans le système circulatoire, la conception des systèmes de lubrification et l'analyse de l'écoulement dans les dispositifs microfluidiques.

Symbols

Variables

Q = Volumetric Flow Rate, R = Pipe Radius, $μ$ = Dynamic Viscosity, $P$ _1 = Inlet Pressure, $P$ _2 = Outlet Pressure

Q

Volumetric Flow Rate

m^{3} / s

R

Pipe Radius

m

μ

Dynamic Viscosity

P a \cdot s

P_{1}

Inlet Pressure

Pa

P_{2}

Outlet Pressure

Pa

Δ P

Pressure Difference

Pa

L

Pipe Length

m

Walkthrough

Derivation

Dérivation de l'équation de Hagen-Poiseuille

Cette dérivation détermine le débit volumique d'un fluide newtonien à travers un tuyau cylindrique en intégrant le profil de vitesse dérivé des équations de Navier-Stokes.

Le fluide est incompressible et newtonien.
L'écoulement est laminaire, permanent et pleinement développé.
Le tuyau est un cylindre droit et rigide avec une section transversale circulaire constante.
Hypothèse pratique : Relie le débit sanguin (Q) à la chute de pression (P1-P2) à travers une section d'artère de longueur (L), en considérant la viscosité du sang (μ) et le rayon de l'artère (R).

1

Bilan des forces sur un élément de fluide

Nous considérons un élément de fluide cylindrique de rayon r et de longueur L. Pour un écoulement permanent, la force de pression poussant le fluide doit être équilibrée par la force de cisaillement agissant sur la surface de l'élément.

τ (2 π r L) = (P_{1} - P_{2}) π r^{2}

Note: Cela suppose que le gradient de pression est constant le long du tuyau.

2

Expression de la contrainte de cisaillement

En utilisant la loi de Newton pour la viscosité, nous relions la contrainte de cisaillement au gradient de vitesse. En réarrangeant l'équation de bilan des forces, nous pouvons résoudre le gradient de vitesse en fonction de la chute de pression.

τ = - μ \frac{d v}{d r} = \frac{( P _{1} - P _{2} ) r}{2 L}

Note: Le signe négatif indique que la vitesse diminue lorsque le rayon augmente.

3

Intégration pour le profil de vitesse

En intégrant le gradient de vitesse par rapport à r et en appliquant la condition de non-glissement à la limite (v=0 en r=R), on obtient le profil de vitesse parabolique.

v (r) = \frac{( P _{1} - P _{2} )}{4 μL} (R^{2} - r^{2})

Note: Cela montre que la vitesse est maximale au centre du tuyau (r=0).

4

Calcul du débit volumique

Le débit volumique total Q est obtenu en intégrant le profil de vitesse sur toute la section transversale du tuyau en utilisant des coordonnées cylindriques.

Q = \int_{0}^{R} v (r) 2 π r d r

Note: Le terme 2πr dr représente la surface d'un anneau mince au rayon r.

5

Intégration finale

L'intégration donne l'équation finale de Hagen-Poiseuille, reliant le débit à la géométrie du tuyau, à la viscosité du fluide et à la chute de pression.

Q = \int_{0}^{R} \frac{( P _{1} - P _{2} )}{4 μL} (R^{2} - r^{2}) 2 π r d r = \frac{R ^{4} π}{8 μ} (\frac{P _{1} - P _{2}}{L})

Note: Notez la forte dépendance au rayon du tuyau ( $R^{4}$ ).

Result

Q = \int_{0}^{R} \frac{( P _{1} - P _{2} )}{4 μL} (R^{2} - r^{2}) 2 π r d r = \frac{R ^{4} π}{8 μ} (\frac{P _{1} - P _{2}}{L})

Source: Bird, R. B., Stewart, W. E., & Lightfoot, E. N. (2002). Transport Phenomena.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $μ = \frac{R ^{4} π ( P _{1} - P _{2} )}{8 Q L}$

Isoler mu

μ = \frac{R ^{4} π ( P _{1} - P _{2} )}{8 Q L}

Réorganisez l'équation de Hagen-Poiseuille pour résoudre la viscosité dynamique du fluide.

Difficulty: 3/5

Solve for $Δ P = \frac{8 Q μL}{R ^{4} π}$

Isoler deltaP

Δ P = \frac{8 Q μL}{R ^{4} π}

Réorganisez l'équation de Hagen-Poiseuille pour trouver la différence de pression (ΔP = P₁ - P₂) requise pour un débit spécifique.

Difficulty: 3/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

Le graphique montre une relation linéaire entre le débit volumique (Q) et la différence de pression ($\Delta\mathcal{P}$). Lorsque la différence de pression augmente, le débit volumique augmente directement et proportionnellement. Pour un étudiant, cela signifie que doubler la différence de pression doublera le débit, en supposant que les autres facteurs restent constants. La caractéristique la plus importante est cette proportionnalité directe, illustrant clairement comment la pression entraîne l'écoulement du fluide dans un tuyau.

Graph type: linear

Why it behaves this way

Intuition

Calcule le débit volumétrique (Q) de pétrole basé sur la différence de pression entre les stations de pompage (P1-P2), la longueur du pipeline (L), la viscosité du pétrole (μ) et le rayon du tuyau. L'image physique consiste à suivre le paramètre qui fixe l'échelle, celui qui modifie la tendance et les hypothèses nécessaires pour interpréter correctement le résultat.

Term

Débit volumique

Pour premier terme, dans Derivation of Hagen-Poiseuille Equation, cette grandeur se lit comme la contribution premier du modèle; elle modifie l'échelle, le sens ou la normalisation du résultat selon les autres hypothèses.

Term

Pipe Radius

Pour deuxième terme, dans Derivation of Hagen-Poiseuille Equation, cette grandeur se lit comme la contribution deuxième du modèle; elle modifie l'échelle, le sens ou la normalisation du résultat selon les autres hypothèses.

Term

Viscosité dynamique

Pour troisième terme, dans Derivation of Hagen-Poiseuille Equation, cette grandeur se lit comme la contribution troisième du modèle; elle modifie l'échelle, le sens ou la normalisation du résultat selon les autres hypothèses.

Term

Perte de charge

Pour quatrième terme, dans Derivation of Hagen-Poiseuille Equation, cette grandeur se lit comme la contribution quatrième du modèle; elle modifie l'échelle, le sens ou la normalisation du résultat selon les autres hypothèses.

Term

Pipe Length

Pour cinquième terme, dans Derivation of Hagen-Poiseuille Equation, cette grandeur se lit comme la contribution cinquième du modèle; elle modifie l'échelle, le sens ou la normalisation du résultat selon les autres hypothèses.

Signs and relationships

R^4: Pourquoi: Assurez-vous que la conduite est suffisamment longue par rapport à son diamètre pour ignorer les effets d'entrée.
(P1 - P2): Le signe du deuxième élément dans dérivation de Hagen-Poiseuille Equation précise si la contribution ajoute, retire, référence ou normalise la grandeur calculée. Cette convention évite d'inverser le sens physique du résultat.
8µL au dénominateur: Pourquoi: Lubrification dans les roulements. Ce signe ou ce terme indique le sens de la contribution dans la relation. Il distingue une augmentation, une diminution, une référence ou une correction de modèle afin d'éviter une interprétation physique inversée.

One free problem

Practice Problem

Calculez le débit Q ( $m^{3}$ /s) pour un fluide avec une viscosité dynamique de 0,001 Pa·s, un rayon de conduite de 0,01 m, une longueur de 2 m et une différence de pression de 100 Pa.

Hint: Assurez-vous que la différence de pression est calculée comme (P1 - P2) et que les unités sont en SI.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Dans le contexte de Calculer le volume de sang circulant dans un segment de vaisseau spécifique pour évaluer la fonction cardiovasculaire, Équation de Hagen-Poiseuille sert à transformer les mesures en une valeur interprétable. Le résultat est important parce qu'il aide à vérifier les dimensions, les performances ou les marges de sécurité d'une conception.

Study smarter

Tips

Assurez-vous que l'écoulement est laminaire en vérifiant le nombre de Reynolds.
Assurez-vous que la conduite est suffisamment longue par rapport à son diamètre pour ignorer les effets d'entrée.
Vérifiez que les unités de pression, de longueur et de rayon sont cohérentes.

Avoid these traps

Common Mistakes

Appliquer l'équation à des conditions d'écoulement turbulent, où elle n'est plus valide.
Confondre le rayon de la conduite avec le diamètre.
Ne pas convertir les unités de viscosité, ce qui entraîne des valeurs de pression ou de débit incorrectes.

Common questions

Frequently Asked Questions

Cette dérivation détermine le débit volumique d'un fluide newtonien à travers un tuyau cylindrique en intégrant le profil de vitesse dérivé des équations de Navier-Stokes.

Utilisez cette équation lors de l'analyse de l'écoulement laminaire d'un fluide newtonien visqueux et incompressible à travers une conduite de section circulaire constante.

Elle est essentielle pour comprendre le flux sanguin dans le système circulatoire, la conception des systèmes de lubrification et l'analyse de l'écoulement dans les dispositifs microfluidiques.

Appliquer l'équation à des conditions d'écoulement turbulent, où elle n'est plus valide. Confondre le rayon de la conduite avec le diamètre. Ne pas convertir les unités de viscosité, ce qui entraîne des valeurs de pression ou de débit incorrectes.

Dans le contexte de Calculer le volume de sang circulant dans un segment de vaisseau spécifique pour évaluer la fonction cardiovasculaire, Équation de Hagen-Poiseuille sert à transformer les mesures en une valeur interprétable. Le résultat est important parce qu'il aide à vérifier les dimensions, les performances ou les marges de sécurité d'une conception.

Assurez-vous que l'écoulement est laminaire en vérifiant le nombre de Reynolds. Assurez-vous que la conduite est suffisamment longue par rapport à son diamètre pour ignorer les effets d'entrée. Vérifiez que les unités de pression, de longueur et de rayon sont cohérentes.

References

Sources

White, F. M. (2016). Fluid Mechanics. McGraw-Hill Education.
Munson, B. R., Young, D. F., & Okiishi, T. H. (2013). Fundamentals of Fluid Mechanics. Wiley.
NIST CODATA
IUPAC Gold Book
Wikipedia: Hagen–Poiseuille equation
White, Frank M. Fluid Mechanics. 8th ed., McGraw-Hill Education, 2016.
Britannica - Hagen-Poiseuille equation
Wikipedia - Hagen–Poiseuille equation