डाइवर्जेंस प्रमेय Calculator

Formula first

Overview

डाइवर्जेंस प्रमेय, जिसे गॉस प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है, एक बंद सतह के माध्यम से एक वेक्टर क्षेत्र के शुद्ध बाहरी प्रवाह को उस सतह के भीतर क्षेत्र के डाइवर्जेंस के आयतन अभिन्न के बराबर करता है। यह एक सीमा गणना को एक आंतरिक संचय गणना में परिवर्तित करता है, जो कलन के मौलिक प्रमेय का 3D विस्तार है।

Symbols

Variables

$\text{Concept-only}$ = Note

Apply it well

When To Use

When to use: इस प्रमेय को तब लागू करें जब एक बंद, टुकड़े-स्मूथ सीमा के माध्यम से कुल प्रवाह की गणना की जाती है, जहां डाइवर्जेंस का आयतन अभिन्न सतह अभिन्न की तुलना में गणना करना आसान होता है। यह विशेष रूप से क्षेत्र के अंदर निरंतर प्रथम-क्रम आंशिक डेरिवेटिव वाले वेक्टर फ़ील्ड के लिए मान्य है।

Why it matters: यह भौतिक संरक्षण कानूनों को व्युत्पन्न करने के लिए आवश्यक है, जैसे कि विद्युत चुंबकत्व में गॉस का नियम और द्रव यांत्रिकी में निरंतरता समीकरण। स्थानीय व्यवहार (डाइवर्जेंस) को वैश्विक व्यवहार (प्रवाह) से संबंधित करके, यह वैज्ञानिकों को आंतरिक स्रोतों के आधार पर एक सीमा के माध्यम से पदार्थों या बलों के संचलन की भविष्यवाणी करने की अनुमति देता है।

Avoid these traps

Common Mistakes

• खुली सतहों के लिए उपयोग करना।
• प्रवाह दिशा (बाहरी सामान्य)।

One free problem

Practice Problem

मूल बिंदु पर केंद्रित, 3 इकाई की भुजा लंबाई वाले घन की सतह के माध्यम से वेक्टर क्षेत्र F = (2x, 2y, 2z) के कुल बाहरी प्रवाह की गणना करें।

Hint: क्षेत्र के डाइवर्जेंस की गणना करें और इसे घन के आयतन से गुणा करें।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Keep going

Related Formulas

References

Sources

1. Calculus: Early Transcendentals by James Stewart
2. Vector Calculus by Jerrold E. Marsden and Anthony J. Tromba
3. Wikipedia: Divergence theorem
4. Introduction to Electrodynamics by David J. Griffiths
5. Calculus: Early Transcendentals, 8th Edition by James Stewart
6. Mathematical Methods for Physicists, 7th Edition by George B. Arfken, Hans J. Weber, and Frank E. Harris
7. Stewart Calculus: Early Transcendentals
8. Standard curriculum — Vector Calculus