विचलन प्रमेय (गॉस प्रमेय) Calculator
किसी बंद सतह के माध्यम से सदिश क्षेत्र के बाहरी प्रवाह को क्षेत्र के विचलन के आयतन समाकल से संबंधित करता है।
Formula first
Overview
यह मौलिक प्रमेय सतह समाकल और आयतन समाकल के बीच एक सेतु प्रदान करता है, प्रभावी रूप से यह दर्शाता है कि किसी क्षेत्र से बाहर निकलने वाले सदिश क्षेत्र का कुल प्रवाह उस क्षेत्र के भीतर सभी स्रोतों और सिंक के योग के बराबर है। यह कलन के मौलिक प्रमेय का त्रि-आयामी सामान्यीकरण है। भौतिक शब्दों में, यह बताता है कि किसी क्षेत्र के स्रोत (विचलन) का स्थानीय घनत्व सीमा के पार शुद्ध परिवहन में कैसे जमा होता है।
Symbols
Variables
V = Enclosed Volume, F = Vector Field, n = Normal Vector
Apply it well
When To Use
When to use: इस प्रमेय का उपयोग तब करें जब किसी बंद सीमा पर एक जटिल सतह समाकल का मूल्यांकन करना विचलन के आयतन समाकल की गणना करने से अधिक कठिन हो।
Why it matters: किसी आयतन के भीतर स्रोतों से उत्पन्न होने वाले क्षेत्रों को ट्रैक करने के लिए यह द्रव गतिकी, ऊष्मा हस्तांतरण और विद्युत चुम्बकत्व में आवश्यक है।
Avoid these traps
Common Mistakes
- खुली सतहों पर अतिरिक्त 'कैप' जोड़े बिना प्रमेय लागू करना।
- बाहर की ओर इंगित इकाई सामान्य वेक्टर का उपयोग करना भूल जाना।
- आयतन के भीतर सदिश क्षेत्र में विलक्षणताओं के लिए हिसाब करने में विफलता।
One free problem
Practice Problem
मूल बिंदु पर केंद्रित त्रिज्या R = 1 के गोले की सतह के माध्यम से सदिश क्षेत्र F = x*i + y*j + z*k के बाहरी प्रवाह की गणना करें।
Hint: F = (x, y, z) का विचलन 3 है। इस स्थिरांक को गोले के आयतन पर समाकलित करें।
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
References
Sources
- Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals.
- Feynman, R. P. (1963). The Feynman Lectures on Physics.
- Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage Learning.