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वक्र के नीचे का क्षेत्रफल

निश्चित समाकलन गणना।

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Core idea

Overview

यह सूत्र कलन के द्वितीय मौलिक प्रमेय (Second Fundamental Theorem of Calculus) का प्रतिनिधित्व करता है, जो निश्चित समाकलनों के मूल्यांकन के लिए एक कम्प्यूटेशनल विधि प्रदान करता है। यह वक्र के नीचे के शुद्ध क्षेत्रफल को समाकलन की ऊपरी और निचली सीमाओं पर मूल्यांकन किए गए फ़ंक्शन के प्रतिअवकलज के मानों के बीच अंतर के रूप में परिभाषित करता है।

When to use: किसी विशिष्ट अंतराल [a, b] पर एक सतत फ़ंक्शन के संचित परिवर्तन की गणना करते समय इस सूत्र का उपयोग करें। यह तब लागू होता है जब भी इंटीग्रैंड f(x) के लिए एक प्रतिअवकलज F(x) की पहचान की जा सकती है, जैसे कि F'(x) = f(x)।

Why it matters: यह संबंध समाकलन कलन की नींव है, जो वैज्ञानिकों को भौतिकी, इंजीनियरिंग और अर्थशास्त्र में जटिल समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है। यह क्षेत्रों को खोजने की ज्यामितीय समस्या को मूल्यांकन की एक सीधी बीजगणितीय गणना में बदल देता है।

Symbols

Variables

A = Area, F(b) = Upper Limit Val, F(a) = Lower Limit Val

Area
F(b)
Upper Limit Val
Variable
F(a)
Lower Limit Val
Variable

Walkthrough

Derivation

वक्र के नीचे क्षेत्र को समझना

एक निश्चित समाकल एक अंतराल पर एक वक्र और x-अक्ष के बीच हस्ताक्षरित क्षेत्र देता है।

  • [a, b] पर f(x) निरंतर है।
  • x-अक्ष के नीचे के क्षेत्र समाकल में ऋणात्मक मान योगदान करते हैं।
1

निश्चित समाकल लिखें:

हस्ताक्षरित क्षेत्र को संचित करने के लिए a से b तक समाकलित करें।

2

कलन का मौलिक प्रमेय का उपयोग करें:

एक प्रतिअवकलज F(x) ज्ञात करें, फिर सीमाओं को प्रतिस्थापित करें।

Note: यदि आप कुल ज्यामितीय क्षेत्र चाहते हैं, तो x-अक्ष क्रॉसिंग पर विभाजित करें और निरपेक्ष मानों का उपयोग करें।

Result

Source: AQA A-Level Mathematics — Pure (Integration)

Visual intuition

Graph

Graph type: polynomial

Why it behaves this way

Intuition

वक्र f(x) के नीचे के क्षेत्र को अनंत रूप से पतले ऊर्ध्वाधर आयतों में काटने की कल्पना करें, प्रत्येक की ऊंचाई f(x) और चौड़ाई dx हो, फिर कुल क्षेत्र खोजने के लिए x=a से x=b तक सभी स्लाइस के क्षेत्रों को जोड़ें।

Term
अंतराल [a, b] पर फलन f(x) की शुद्ध संचित मात्रा या कुल परिवर्तन।
यह 'a' से 'b' तक 'a' से 'b' तक कुल 'राशि' है जो फलन f(x) द्वारा निर्धारित की गई है।
Term
किसी विशिष्ट बिंदु x पर जमा की जा रही मात्रा की तात्कालिक दर या मान।
यह किसी भी दिए गए x पर वक्र की 'ऊंचाई' का प्रतिनिधित्व करता है, जो उस सटीक क्षण में कितना जोड़ा (या घटाया) जा रहा है, यह दर्शाता है।
Term
स्वतंत्र चर x के साथ एक अतिसूक्ष्म रूप से छोटा वृद्धि।
यह उस अतिसूक्ष्म रूप से पतले स्लाइस या अंतराल की 'चौड़ाई' है जिस पर योग के उद्देश्य के लिए f(x) को स्थिर माना जाता है।
Term
निश्चित समाकलन की संक्रिया, जो अंतराल [a, b] पर dx से गुणा किए गए f(x) का निरंतर योग करती है।
यह x=a से x=b तक अतिसूक्ष्म रूप से छोटे योगदानों (f(x) * dx) की अनंत संख्या को जोड़ने की प्रक्रिया है।
Term
निचली सीमा 'a' से ऊपरी सीमा 'b' तक प्रतिअवकलज F(x) में शुद्ध परिवर्तन।
यह ऊपरी सीमा 'b' पर कुल संचित राशि में से निचली सीमा 'a' पर कुल संचित राशि को घटाता है, जिससे अंतराल पर कुल परिवर्तन सीधे प्राप्त होता है।

Signs and relationships

  • F(b) - F(a): घटाव ऊपरी सीमा b और निचली सीमा a के बीच संचित मात्रा F(x) में शुद्ध परिवर्तन की गणना करता है। एक धनात्मक परिणाम संचित मात्रा में शुद्ध वृद्धि का संकेत देता है, जबकि एक ऋणात्मक परिणाम

Free study cues

Insight

Canonical usage

This equation is used to determine an accumulated quantity, where the unit of the result 'A' is the product of the unit of the function 'f(x)' and the unit of the integration variable 'x'.

One free problem

Practice Problem

एक कण एक पथ के साथ चलता है जहां उसके वेग फ़ंक्शन का प्रतिअवकलज उसकी स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है। यदि यात्रा के अंत में स्थिति (Fb) 50 मीटर है और प्रारंभ में स्थिति (Fa) 15 मीटर है, तो कुल विस्थापन (A) की गणना करें जो वेग वक्र के नीचे के क्षेत्रफल का प्रतिनिधित्व करता है।

Hint: अंतिम प्रतिअवकलज मान से प्रारंभिक प्रतिअवकलज मान घटाएं।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

वेग ग्राफ दिए जाने पर तय की गई दूरी। के संदर्भ में, वक्र के नीचे का क्षेत्रफल मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गणना को मॉडल के आकार, परिवर्तन दर, प्रायिकता या प्रतिबंध से जोड़ने में मदद करता है।

Study smarter

Tips

  • हमेशा सत्यापित करें कि फ़ंक्शन पूरे अंतराल [a, b] पर सतत है।
  • ऊपरी सीमा मान से निचली सीमा मान को घटाते समय चिन्हों पर बारीकी से ध्यान दें।
  • सीमा मानों को प्रतिस्थापित करने से पहले प्रतिअवकलज की सटीक पहचान करें।

Avoid these traps

Common Mistakes

  • घटाव का क्रम (F(a)-F(b))।
  • पहले समाकलन करना भूल जाना।

Common questions

Frequently Asked Questions

एक निश्चित समाकल एक अंतराल पर एक वक्र और x-अक्ष के बीच हस्ताक्षरित क्षेत्र देता है।

किसी विशिष्ट अंतराल [a, b] पर एक सतत फ़ंक्शन के संचित परिवर्तन की गणना करते समय इस सूत्र का उपयोग करें। यह तब लागू होता है जब भी इंटीग्रैंड f(x) के लिए एक प्रतिअवकलज F(x) की पहचान की जा सकती है, जैसे कि F'(x) = f(x)।

यह संबंध समाकलन कलन की नींव है, जो वैज्ञानिकों को भौतिकी, इंजीनियरिंग और अर्थशास्त्र में जटिल समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है। यह क्षेत्रों को खोजने की ज्यामितीय समस्या को मूल्यांकन की एक सीधी बीजगणितीय गणना में बदल देता है।

घटाव का क्रम (F(a)-F(b))। पहले समाकलन करना भूल जाना।

वेग ग्राफ दिए जाने पर तय की गई दूरी। के संदर्भ में, वक्र के नीचे का क्षेत्रफल मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गणना को मॉडल के आकार, परिवर्तन दर, प्रायिकता या प्रतिबंध से जोड़ने में मदद करता है।

हमेशा सत्यापित करें कि फ़ंक्शन पूरे अंतराल [a, b] पर सतत है। ऊपरी सीमा मान से निचली सीमा मान को घटाते समय चिन्हों पर बारीकी से ध्यान दें। सीमा मानों को प्रतिस्थापित करने से पहले प्रतिअवकलज की सटीक पहचान करें।

References

Sources

  1. Calculus: Early Transcendentals by James Stewart
  2. Wikipedia: Fundamental theorem of calculus
  3. Thomas' Calculus
  4. Halliday, Resnick, and Walker, Fundamentals of Physics
  5. Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage Learning.
  6. Thomas, G. B., Weir, M. D., & Hass, J. (2018). Thomas' Calculus (14th ed.). Pearson.
  7. AQA A-Level Mathematics — Pure (Integration)