कनवल्शन प्रमेय (लाप्लास)
बताता है कि दो फलनों के कनवल्शन का लाप्लास रूपांतरण उनके व्यक्तिगत रूपांतरणों का गुणनफल होता है।
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Core idea
Overview
यह प्रमेय कनवल्शन समाकलन का उपयोग करके फलनों के गुणनफलों के व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरणों को खोजने के लिए एक शक्तिशाली विधि प्रदान करता है।
When to use: गैर-समरूप अवकल समीकरणों को हल करने और रैखिक समय-अपरिवर्तनीय (LTI) प्रणालियों का विश्लेषण करने के लिए आवश्यक।
Why it matters: यह समय डोमेन में कनवल्शन के जटिल संचालन को आवृत्ति (s) डोमेन में सरल बीजगणितीय गुणन में परिवर्तित करता है।
Symbols
Variables
F(s)G(s) = L{f * g}, F(s) = F(s), G(s) = G(s)
Walkthrough
Derivation
कनवल्शन प्रमेय (लाप्लास)
यह व्युत्पत्ति दर्शाती है कि दो फलनों के कनवल्शन का लाप्लास रूपांतरण उनके व्यक्तिगत लाप्लास रूपांतरणों के गुणनफल के बराबर होता है।
- फलन f(t) और g(t) [0, ∞) पर पीसवाइज कंटीन्यूअस (piecewise continuous) और एक्सपोनेंशियल ऑर्डर (exponential order) के हैं।
- लाप्लास रूपांतरण F(s) = ℬ{f(t)} और G(s) = ℬ{g(t)} मौजूद हैं।
- समाकलन के क्रम को बदला जा सकता है (फूबिनी प्रमेय लागू होता है)।
कनवल्शन के लाप्लास रूपांतरण की परिभाषा से प्रारंभ करें:
हम दो फलनों, f(t) और g(t), के कनवल्शन पर लाप्लास रूपांतरण की परिभाषा लागू करके शुरू करते हैं, जो स्वयं एक समाकल है।
समाकलन के क्रम को बदलें:
समाकलन का क्षेत्र 0 ≤ τ ≤ t < ∞ है। समाकलन के क्रम को बदलकर, हम पहले t के संबंध में समाकलन करने के लिए सीमाओं को फिर से लिखते हैं, फिर τ.
आंतरिक समाकल में प्रतिस्थापन करें:
मान लीजिए u = t - τ, इसलिए t = u + τ और dt = du। यह प्रतिस्थापन आंतरिक समाकल को लाप्लास रूपांतरण के समान एक रूप में बदल देता है।
लाप्लास रूपांतरणों को पहचानें:
आंतरिक समाकल G(s) = ℬ{g(t)} की परिभाषा है। G(s) को बाहर निकालने पर F(s) = ℬ{f(t)} की परिभाषा बचती है, इस प्रकार प्रमेय सिद्ध होता है।
Result
Source: Kreyszig, E. (2011). Advanced Engineering Mathematics (10th ed.). John Wiley & Sons.
Free formulas
Rearrangements
Solve for F(s)G(s)
F(s)G(s) को विषय बनाएं
कन्वोल्यूशन प्रमेय (लाप्लास) से प्रारंभ करें। अभिव्यक्ति F(s)G(s) पहले से ही पृथक है, इसलिए कार्य इसे विषय के रूप में पहचानना और लक्ष्य संकेतन में प्रस्तुत करना है।
Difficulty: 1/5
The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.
Visual intuition
Graph
Graph type: exponential
Why it behaves this way
Intuition
यह प्रमेय एक शक्तिशाली 'डोमेन परिवर्तन' परिप्रेक्ष्य प्रदान करता है, जहाँ समय डोमेन में कनवल्शन जैसे जटिल ऑपरेशन को आवृत्ति डोमेन में एक सीधे बीजगणितीय गुणन में सरल बनाया जाता है।
Free study cues
Insight
Canonical usage
Ensures dimensional consistency between the Laplace transform of a convolution and the product of individual Laplace transforms, where the units of the Laplace variable 's' are inverse time.
One free problem
Practice Problem
व्यक्तिगत रूपांतरण F(s) = 4 और G(s) = 8 दिए गए हैं, कनवल्शन (f * g)(t) के लाप्लास रूपांतरण की गणना करें।
Hint: प्रमेय के अनुसार, कनवल्शन का रूपांतरण केवल व्यक्तिगत रूपांतरणों का गुणनफल होता है।
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
Where it shows up
Real-World Context
सिग्नल प्रोसेसिंग में, एक प्रणाली का आउटपुट उसके इनपुट सिग्नल और उसके आवेग प्रतिक्रिया का कनवल्शन होता है; यह प्रमेय हमें s-डोमेन में गुणन का उपयोग करके आउटपुट खोजने की अनुमति देता है।
Study smarter
Tips
- कनवल्शन f * g को 0 से t तक के समाकलन के रूप में परिभाषित किया गया है f(τ)g(t-τ) dτ।
- याद रखें कि कनवल्शन क्रमविनिमेय है, जिसका अर्थ है f * g = g * f।
Avoid these traps
Common Mistakes
- कनवल्शन f*g को बिंदुवार गुणनफल f(t)g(t) के साथ भ्रमित करना।
- यह भूल जाना कि प्रमेय केवल तभी लागू होता है जब अभिसरण के समान क्षेत्र के लिए रूपांतरण F(s) और G(s) मौजूद हों।
Common questions
Frequently Asked Questions
यह व्युत्पत्ति दर्शाती है कि दो फलनों के कनवल्शन का लाप्लास रूपांतरण उनके व्यक्तिगत लाप्लास रूपांतरणों के गुणनफल के बराबर होता है।
गैर-समरूप अवकल समीकरणों को हल करने और रैखिक समय-अपरिवर्तनीय (LTI) प्रणालियों का विश्लेषण करने के लिए आवश्यक।
यह समय डोमेन में कनवल्शन के जटिल संचालन को आवृत्ति (s) डोमेन में सरल बीजगणितीय गुणन में परिवर्तित करता है।
कनवल्शन f*g को बिंदुवार गुणनफल f(t)g(t) के साथ भ्रमित करना। यह भूल जाना कि प्रमेय केवल तभी लागू होता है जब अभिसरण के समान क्षेत्र के लिए रूपांतरण F(s) और G(s) मौजूद हों।
सिग्नल प्रोसेसिंग में, एक प्रणाली का आउटपुट उसके इनपुट सिग्नल और उसके आवेग प्रतिक्रिया का कनवल्शन होता है; यह प्रमेय हमें s-डोमेन में गुणन का उपयोग करके आउटपुट खोजने की अनुमति देता है।
कनवल्शन f * g को 0 से t तक के समाकलन के रूप में परिभाषित किया गया है f(τ)g(t-τ) dτ। याद रखें कि कनवल्शन क्रमविनिमेय है, जिसका अर्थ है f * g = g * f।
References
Sources
- Advanced Engineering Mathematics
- Wikipedia: Laplace transform
- Differential Equations with Boundary-Value Problems by Dennis G. Zill
- Dennis G. Zill, Warren S. Wright. Differential Equations with Boundary-Value Problems.
- Erwin Kreyszig. Advanced Engineering Mathematics.
- Wikipedia: Convolution theorem
- Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics
- Boyce, DiPrima, and Meade, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems