नमन सूत्र (बंकन प्रतिबल)

Core idea

Overview

यह सूत्र मानता है कि बीम सामग्री रैखिक-लचीली, समदैशिक और सजातीय है, जिसका क्रॉस-सेक्शन बंकन के तल के बारे में सममित है। यह आंतरिक आघूर्ण को सदस्य की गहराई में प्रतिबल वितरण से संबंधित करता है, यह दर्शाता है कि प्रतिबल तटस्थ अक्ष से दूरी के साथ रैखिक रूप से भिन्न होता है। एक धनात्मक आघूर्ण एक सरलता से समर्थित बीम के शीर्ष तंतुओं पर संपीड़न का कारण बनता है, यह इंगित करने के लिए ऋणात्मक चिह्न एक परंपरा है।

When to use: शुद्ध बंकन या अन्य भारों के साथ संयुक्त बंकन के अधीन एक बीम में आंतरिक सामान्य प्रतिबल निर्धारित करने के लिए इसका उपयोग करें।

Why it matters: यह प्रेरित बंकन प्रतिबल सामग्री की उपज शक्ति या स्वीकार्य प्रतिबल से अधिक नहीं हो, यह सुनिश्चित करने के लिए संरचनात्मक सुरक्षा के लिए मौलिक है।

Symbols

Variables

sigma = Bending Stress, M = Bending Moment, y = Distance from Neutral Axis, I = Moment of Inertia

sigma

Bending Stress

Variable

M

Bending Moment

Variable

y

Distance from Neutral Axis

Variable

I

Moment of Inertia

Variable

Walkthrough

Derivation

लचीलापन सूत्र (झुकाव प्रतिबल) की व्युत्पत्ति

सारांश: यह derivation relates internal bending moment का beam को internal normal stress द्वारा enforcing geometric compatibility (linear strain) और constitutive behavior (Hooke's Law).

बीम शुरू में सीधी और प्रिज्मीय है।
सामग्री रैखिक-लोचदार, सजातीय और समदैशिक है।
समतल खंड झुकने के बाद समतल और अनुदैर्ध्य अक्ष के लंबवत रहते हैं (बर्नौली-यूलर परिकल्पना)।
बीम शुद्ध झुकाव के अधीन है।

1

गतिक संबंध (विकृति)

वक्रता $ρ$ की त्रिज्या मानते हुए, अनुदैर्ध्य विकृति $ϵ_{x}$ तटस्थ अक्ष से दूरी $y$ के साथ रैखिक रूप से भिन्न होती है।

ϵ_{x} = - \frac{y}{ρ}

Note: ऋणात्मक चिह्न इंगित करता है कि धनात्मक झुकाव (अवतल ऊपर) के लिए, तटस्थ अक्ष के ऊपर के फाइबर संपीड़न में होते हैं।

2

संवैधानिक संबंध (हुक का नियम)

हुक के नियम ( $σ = E ϵ$ ) को लागू करके, हम प्रतिबल को लोचदार मापांक $E$ और वक्रता के फलन के रूप में व्यक्त करते हैं।

σ_{x} = E ϵ_{x} = - \frac{E y}{ρ}

Note: यह मानता है कि सामग्री रैखिक लोचदार सीमा के भीतर है।

3

आघूर्ण संतुलन

आंतरिक आघूर्ण $M$ अनुप्रस्थ-काट क्षेत्र $A$ पर प्रतिबल वितरण द्वारा उत्पन्न आघूर्ण का समाकल है।

M = \int_{A} - y σ_{x} d A = \int_{A} - y (- \frac{E y}{ρ}) d A = \frac{E}{ρ} \int_{A} y^{2} d A

Note: समाकल $\int y^{2} d A$ को क्षेत्रफल जड़त्व आघूर्ण $I$ के रूप में परिभाषित किया गया है।

4

आघूर्ण और वक्रता को जोड़ना

हम वक्रता पद $1/ ρ$ को लागू आघूर्ण के रूप में हल करने के लिए समाकल को $I$ से बदल देते हैं।

M = \frac{E I}{ρ} ⟹ \frac{1}{ρ} = \frac{M}{E I}

Note: $E I$ पद को बीम की लचीली कठोरता के रूप में जाना जाता है।

5

अंतिम लचीलापन सूत्र

अंतिम सूत्र प्राप्त करने के लिए वक्रता व्यंजक को प्रतिबल समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करें।

σ = - \frac{E y}{E I} \cdot \frac{M}{1} = - \frac{M y}{I}

Note: इकाइयों को हमेशा सुसंगत सुनिश्चित करें (जैसे, N/mm² MPa के लिए)।

Result

σ = - \frac{E y}{E I} \cdot \frac{M}{1} = - \frac{M y}{I}

Source: Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. (2015). Mechanics of Materials.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $σ$

$σ$ को विषय बनाएं

σ = - \frac{M y}{I}

The formula is already expressed with $σ$ as the subject.

Difficulty: 1/5

Solve for $M$

M को विषय बनाएं

M = - \frac{σ I}{y}

M को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें.

Difficulty: 2/5

Solve for $I$

I को विषय बनाएं

I = - \frac{M y}{σ}

I को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें.

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

दृश्य संकेत: कल्पना करें bending thick rubber eraser. के रूप में आप bend यह, outer side stretches (tension) और inner side compresses. neutral axis ( केंद्र plane) remains unstretched. समीकरण वर्णन करता है यह के रूप में linear 'ramp' का stress: आगे आप move away से केंद्र (y), अधिक material must stretch या squash को accommodate bend, के साथ slope का यह ramp determined द्वारा moment (M) और resistance का shape (I). प्रमुख राशियाँ s, M, y, I हैं।

Term

भौतिक अर्थ पहला: Bending Stress संदर्भ: Derivation का Flexure सूत्र (Bending Stress).

सहज व्याख्या पहला: internal 'push' या 'pull' बल प्रति unit क्षेत्रफल acting पर material fibers पर specific location. संदर्भ: Derivation का Flexure सूत्र (Bending Stress).

Term

भौतिक अर्थ दूसरा: Bending Moment संदर्भ: Derivation का Flexure सूत्र (Bending Stress).

सहज व्याख्या दूसरा: 'twisting' बल applied को beam; बड़ा M creates अधिक intense internal struggle के बीच tension और compression. संदर्भ: Derivation का Flexure सूत्र (Bending Stress).

Term

भौतिक अर्थ तीसरा: Centroidal Distance संदर्भ: Derivation का Flexure सूत्र (Bending Stress).

सहज व्याख्या तीसरा: 'leverage arm'; कैसे far आप हैं से केंद्र रेखा जहाँ no stress exists. संदर्भ: Derivation का Flexure सूत्र (Bending Stress).

Term

भौतिक अर्थ चौथा: क्षेत्रफल Moment का Inertia संदर्भ: Derivation का Flexure सूत्र (Bending Stress).

सहज व्याख्या चौथा: geometric 'stiffness'; यह मापता है कैसे efficiently shape distributes material away से केंद्र को resist bending. संदर्भ: Derivation का Flexure सूत्र (Bending Stress).

Signs and relationships

Negative sign (-): चिह्न कारण पहला: यह है sign convention: यह ensures जो के लिए धनात्मक bending moment (causing curvature concave upward), बिंदु above neutral axis (धनात्मक y) result में ऋणात्मक stress (compression), while बिंदु below (ऋणात्मक y) result में धनात्मक stress (tension).

One free problem

Practice Problem

A beam has a moment of inertia I = 5000 cm^4 and is subjected to a bending moment M = 10 kN-m. Calculate the bending stress at a point 10 cm from the neutral axis.

Hint: सुसंगतता बनाए रखने के लिए सभी इकाइयों को न्यूटन और मिलीमीटर में परिवर्तित करें (N/mm^2 = MPa)।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

नमन सूत्र (बंकन प्रतिबल) के संदर्भ में, नमन सूत्र (बंकन प्रतिबल) मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह डिजाइन के आयाम, प्रदर्शन या सुरक्षा मार्जिन की जांच करने में मदद करता है।

Study smarter

Tips

सुनिश्चित करें कि दूरी 'y' क्रॉस-सेक्शन के सेंट्रोइडल तटस्थ अक्ष से मापा जाता है।
जांचें कि M, y, और I के लिए इकाइयाँ सुसंगत हैं (आमतौर पर N, mm, और mm^4)।
याद रखें कि अधिकतम प्रतिबल सबसे बाहरी तंतुओं (अधिकतम 'y') पर होता है।

Avoid these traps

Common Mistakes

बंकन के विशिष्ट अक्ष के लिए जड़त्व आघूर्ण (I) का गलत उपयोग करना।
बाहरी सतह से दूरी को तटस्थ अक्ष से दूरी के साथ भ्रमित करना।

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

सारांश: यह derivation relates internal bending moment का beam को internal normal stress द्वारा enforcing geometric compatibility (linear strain) और constitutive behavior (Hooke's Law).

शुद्ध बंकन या अन्य भारों के साथ संयुक्त बंकन के अधीन एक बीम में आंतरिक सामान्य प्रतिबल निर्धारित करने के लिए इसका उपयोग करें।

यह प्रेरित बंकन प्रतिबल सामग्री की उपज शक्ति या स्वीकार्य प्रतिबल से अधिक नहीं हो, यह सुनिश्चित करने के लिए संरचनात्मक सुरक्षा के लिए मौलिक है।

बंकन के विशिष्ट अक्ष के लिए जड़त्व आघूर्ण (I) का गलत उपयोग करना। बाहरी सतह से दूरी को तटस्थ अक्ष से दूरी के साथ भ्रमित करना।

नमन सूत्र (बंकन प्रतिबल) के संदर्भ में, नमन सूत्र (बंकन प्रतिबल) मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह डिजाइन के आयाम, प्रदर्शन या सुरक्षा मार्जिन की जांच करने में मदद करता है।

सुनिश्चित करें कि दूरी 'y' क्रॉस-सेक्शन के सेंट्रोइडल तटस्थ अक्ष से मापा जाता है। जांचें कि M, y, और I के लिए इकाइयाँ सुसंगत हैं (आमतौर पर N, mm, और mm^4)। याद रखें कि अधिकतम प्रतिबल सबसे बाहरी तंतुओं (अधिकतम 'y') पर होता है।

References

Sources

Hibbeler, R. C. (2017). Mechanics of Materials.
Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. (2014). Mechanics of Materials.
Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. (2015). Mechanics of Materials.

Overview

Variables

Derivation

गतिक संबंध (विकृति)

संवैधानिक संबंध (हुक का नियम)

आघूर्ण संतुलन

आघूर्ण और वक्रता को जोड़ना

अंतिम लचीलापन सूत्र

Rearrangements

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Section Modulus

Frequently Asked Questions

Sources