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हैगन-पॉइस्यूइल समीकरण

हैगन-पॉइस्यूइल समीकरण एक असम्पीडित न्यूटोनियन द्रव की आयतनिक प्रवाह दर की गणना एक लंबी बेलनाकार पाइप के माध्यम से करता है।

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Q = \frac{R ^{4} π}{8 μ} (\frac{P _{1} - P _{2}}{L})

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Core idea

Overview

यह समीकरण लैमिनार प्रवाह की स्थितियों का वर्णन करता है जहां द्रव समानांतर परतों में बिना किसी व्यवधान के गति करता है। यह पाइप की लंबाई के पार दबाव ड्रॉप को पाइप की त्रिज्या और द्रव की चिपचिपाहट से संबंधित करता है। परिणाम प्रति इकाई समय में अनुप्रस्थ काट के माध्यम से द्रव की मात्रा कितनी दर से गुजरती है, यह प्रदान करता है।

When to use: स्थिर वृत्ताकार क्रॉस-सेक्शन वाले पाइप के माध्यम से एक चिपचिपा, असम्पीडित न्यूटोनियन द्रव के लैमिनार प्रवाह का विश्लेषण करते समय इस समीकरण का उपयोग करें।

Why it matters: यह संचार प्रणाली में रक्त प्रवाह को समझने, स्नेहन प्रणाली को डिजाइन करने और माइक्रोफ्लुइडिक उपकरणों में प्रवाह का विश्लेषण करने के लिए आवश्यक है।

Symbols

Variables

Q = Volumetric Flow Rate, R = Pipe Radius, $μ$ = Dynamic Viscosity, $P$ _1 = Inlet Pressure, $P$ _2 = Outlet Pressure

Q

Volumetric Flow Rate

m^{3} / s

R

Pipe Radius

m

μ

Dynamic Viscosity

P a \cdot s

P_{1}

Inlet Pressure

P_{2}

Outlet Pressure

Δ P

Pressure Difference

L

Pipe Length

m

Walkthrough

Derivation

Derivation of Hagen-Poiseuille Equation

This derivation determines the volumetric flow rate of a Newtonian fluid through a cylindrical pipe by integrating the velocity profile derived from the Navier-Stokes equations.

द्रव असंपीड्य और न्यूटोनियन है।
प्रवाह लैमिनार, स्थिर और पूर्णतः विकसित है।

द्रव अवयव पर बल संतुलन

हम त्रिज्या r और लंबाई L वाले एक बेलनाकार द्रव अवयव पर विचार करते हैं। स्थिर प्रवाह के लिए, द्रव को धकेलने वाले दाब बल को अवयव की सतह पर कार्य करने वाले अपरूपण प्रतिबल बल द्वारा संतुलित होना चाहिए।

τ (2 π r L) = (P_{1} - P_{2}) π r^{2}

Note: यह मानता है कि पाइप की लंबाई के साथ दाब प्रवणता स्थिर है।

अपरूपण प्रतिबल को व्यक्त करना

न्यूटन के श्यानता नियम का उपयोग करके, हम अपरूपण प्रतिबल को वेग प्रवणता से संबंधित करते हैं। बल संतुलन समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने से हम दाब-पतन के पदों में वेग प्रवणता के लिए हल कर सकते हैं।

τ = - μ \frac{d v}{d r} = \frac{( P _{1} - P _{2} ) r}{2 L}

Note: ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि त्रिज्या बढ़ने पर वेग घटता है।

वेग प्रोफ़ाइल के लिए समाकलन करना

Integrating the velocity gradient with respect to r and applying the no-slip boundary condition (v=0 at r=R) yields the parabolic velocity profile.

v (r) = \frac{( P _{1} - P _{2} )}{4 μL} (R^{2} - r^{2})

Note: This shows that the velocity is maximum at the center of the pipe (r=0).

आयतनात्मक प्रवाह दर की गणना करना

The total volumetric flow rate Q is found by integrating the velocity profile over the entire cross-sectional area of the pipe using cylindrical coordinates.

Q = \int_{0}^{R} v (r) 2 π r d r

Note: पद 2πr dr त्रिज्या r पर स्थित एक पतले छल्ले के क्षेत्रफल को दर्शाता है।

अंतिम समाकलन

Performing the integration results in the final Hagen-Poiseuille equation, relating flow rate to pipe geometry, fluid viscosity, and pressure drop.

Q = \int_{0}^{R} \frac{( P _{1} - P _{2} )}{4 μL} (R^{2} - r^{2}) 2 π r d r = \frac{R ^{4} π}{8 μ} (\frac{P _{1} - P _{2}}{L})

Note: Note the strong dependence on the pipe radius ( $R^{4}$ ).

Result

Q = \int_{0}^{R} \frac{( P _{1} - P _{2} )}{4 μL} (R^{2} - r^{2}) 2 π r d r = \frac{R ^{4} π}{8 μ} (\frac{P _{1} - P _{2}}{L})

Source: Bird, R. B., Stewart, W. E., & Lightfoot, E. N. (2002). Transport Phenomena.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $μ = \frac{R ^{4} π ( P _{1} - P _{2} )}{8 Q L}$

गतिशील श्यानता

μ = \frac{R ^{4} π ( P _{1} - P _{2} )}{8 Q L}

द्रव की गतिशील श्यानता को हल करने के लिए हेगन-पॉइज़ुइल समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें।

Difficulty: 3/5

Solve for $Δ P = \frac{8 Q μL}{R ^{4} π}$

दबाव अंतर

Δ P = \frac{8 Q μL}{R ^{4} π}

एक विशिष्ट प्रवाह के लिए आवश्यक दबाव अंतर (ΔP = P₁ - P₂) खोजने के लिए हेगन-पॉइज़ुइल समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें।

Difficulty: 3/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

ग्राफ deltaP के बदलने पर Hagen-Poiseuille समीकरण का रुझान दिखाता है। ढाल, दिशा और वक्रता से पता चलता है कि संबंधित अभियांत्रिक राशि किस प्रकार बढ़ती, घटती या स्थिर रहती है। गणितीय संकेत सुरक्षित रखें: $\Delta\mathcal{P}$, \Delta, \mathcal।

Graph type: linear

Why it behaves this way

Intuition

दृश्य संकेत: कल्पना करें fluid moving से होकर long, straight straw. fluid near केंद्र moves fastest, while fluid touching walls है stationary due को friction ( no-slip condition). यह creates parabolic वेग profile जहाँ 'core' का liquid slides से होकर sleeve का slower-moving layers. total आयतन squeezed से होकर प्रति second depends heavily पर कैसे wide straw है और कैसे 'thick' या sticky fluid feels. प्रमुख राशियाँ Q, R, µ, P1 - P2, L हैं।

Term

भौतिक अर्थ पहला: Volumetric Flow दर संदर्भ: Derivation का Hagen-Poiseuille समीकरण.

सहज व्याख्या पहला: total आयतन का fluid passing से होकर cross-section का pipe प्रति unit का समय; essentially कैसे fast 'bucket' fills up. संदर्भ: Derivation का Hagen-Poiseuille समीकरण.

Term

भौतिक अर्थ दूसरा: Pipe Radius संदर्भ: Derivation का Hagen-Poiseuille समीकरण.

सहज व्याख्या दूसरा: distance से केंद्र को wall. क्योंकि यह है raised को 4th power, doubling radius बढ़ती है flow द्वारा 16 times, making यह most sensitive factor में समीकरण. संदर्भ: Derivation का Hagen-Poiseuille समीकरण.

Term

भौतिक अर्थ तीसरा: Dynamic Viscosity संदर्भ: Derivation का Hagen-Poiseuille समीकरण.

सहज व्याख्या तीसरा: 'internal friction' या thickness का fluid. High viscosity (like honey) resists flow अधिक से low viscosity (like water). संदर्भ: Derivation का Hagen-Poiseuille समीकरण.

Term

भौतिक अर्थ चौथा: दाब Drop संदर्भ: Derivation का Hagen-Poiseuille समीकरण.

सहज व्याख्या चौथा: 'push' या driving बल. Fluid केवल flows यदि there है difference में दाब को overcome resistive viscous forces. संदर्भ: Derivation का Hagen-Poiseuille समीकरण.

Term

भौतिक अर्थ पाँचवाँ: Pipe लंबाई संदर्भ: Derivation का Hagen-Poiseuille समीकरण.

सहज व्याख्या पाँचवाँ: distance fluid must travel. Longer pipes create अधिक total friction against walls, जो slows down flow के लिए given दाब. संदर्भ: Derivation का Hagen-Poiseuille समीकरण.

Signs and relationships

R^4: चिह्न कारण पहला: धनात्मक और exponential; यह signifies जो widening pipe dramatically reduces resistance को flow द्वारा moving अधिक fluid away से high-friction walls.
(P1 - P2): चिह्न कारण दूसरा: धनात्मक; flow always moves से high दाब (P1) को low दाब (P2). बड़ा difference results में higher वेग.
हर में 8µL: चिह्न कारण तीसरा: Inverse relationship; increasing 'stickiness' (viscosity) या distance (लंबाई) adds को total resistance, thereby decreasing flow दर.

One free problem

Practice Problem

0.001 Pa·s की गतिशील चिपचिपाहट, 0.01 मीटर की पाइप त्रिज्या, 2 मीटर की लंबाई और 100 Pa के दबाव अंतर वाले द्रव के लिए प्रवाह दर Q ( $m^{3}$ /s) की गणना करें।

Hint: सुनिश्चित करें कि दबाव अंतर (P1 - P2) के रूप में गणना की जाती है और इकाइयाँ SI में हैं।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

हृदय संबंधी कार्य का आकलन करने के लिए एक विशिष्ट बर्तन खंड के माध्यम से बहने वाले रक्त की मात्रा की गणना करना। के संदर्भ में, हैगन-पॉइस्यूइल समीकरण मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह डिजाइन के आयाम, प्रदर्शन या सुरक्षा मार्जिन की जांच करने में मदद करता है।

Study smarter

Tips

रेनॉल्ड्स संख्या की जांच करके सुनिश्चित करें कि प्रवाह लैमिनार है।
प्रवेश प्रभावों को नजरअंदाज करने के लिए पाइप व्यास के सापेक्ष पर्याप्त लंबा है, यह सुनिश्चित करें।
जांचें कि दबाव, लंबाई और त्रिज्या की इकाइयाँ सुसंगत हैं।

Avoid these traps

Common Mistakes

समीकरण को अशांत प्रवाह की स्थितियों पर लागू करना, जहां यह अब मान्य नहीं है।
पाइप की त्रिज्या को व्यास के साथ भ्रमित करना।
गलत दबाव या प्रवाह मानों के परिणामस्वरूप चिपचिपाहट के लिए इकाइयों को परिवर्तित करने में विफलता।

Common questions

Frequently Asked Questions

This derivation determines the volumetric flow rate of a Newtonian fluid through a cylindrical pipe by integrating the velocity profile derived from the Navier-Stokes equations.

स्थिर वृत्ताकार क्रॉस-सेक्शन वाले पाइप के माध्यम से एक चिपचिपा, असम्पीडित न्यूटोनियन द्रव के लैमिनार प्रवाह का विश्लेषण करते समय इस समीकरण का उपयोग करें।

यह संचार प्रणाली में रक्त प्रवाह को समझने, स्नेहन प्रणाली को डिजाइन करने और माइक्रोफ्लुइडिक उपकरणों में प्रवाह का विश्लेषण करने के लिए आवश्यक है।

समीकरण को अशांत प्रवाह की स्थितियों पर लागू करना, जहां यह अब मान्य नहीं है। पाइप की त्रिज्या को व्यास के साथ भ्रमित करना। गलत दबाव या प्रवाह मानों के परिणामस्वरूप चिपचिपाहट के लिए इकाइयों को परिवर्तित करने में विफलता।

रेनॉल्ड्स संख्या की जांच करके सुनिश्चित करें कि प्रवाह लैमिनार है। प्रवेश प्रभावों को नजरअंदाज करने के लिए पाइप व्यास के सापेक्ष पर्याप्त लंबा है, यह सुनिश्चित करें। जांचें कि दबाव, लंबाई और त्रिज्या की इकाइयाँ सुसंगत हैं।

References

Sources

White, F. M. (2016). Fluid Mechanics. McGraw-Hill Education.
Munson, B. R., Young, D. F., & Okiishi, T. H. (2013). Fundamentals of Fluid Mechanics. Wiley.
NIST CODATA
IUPAC Gold Book
Wikipedia: Hagen–Poiseuille equation
White, Frank M. Fluid Mechanics. 8th ed., McGraw-Hill Education, 2016.
Britannica - Hagen-Poiseuille equation
Wikipedia - Hagen–Poiseuille equation