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sin(x) का समाकलन

साइन फ़ंक्शन का प्रतिअवकलज।

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\int sin x d x = - cos x + C

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Core idea

Overview

साइन फ़ंक्शन का समाकलन प्रतिअवकलज की पहचान करता है, जो अवकलित होने पर मूल साइन वेव उत्पन्न करता है। यह गणितीय संक्रिया ऋणात्मक कोसाइन फ़ंक्शन में परिणत होती है, जो चक्रीय और दोलनशील प्रणालियों से जुड़ी समस्याओं को हल करने के लिए महत्वपूर्ण है।

When to use: इस सूत्र को तब लागू करें जब आपको साइन वक्र के नीचे के क्षेत्र की गणना करनी हो या समय के साथ साइनसोइडली भिन्न होने वाली मात्रा के संचय को निर्धारित करना हो। इसका विशेष रूप से गतिविज्ञान (kinematics) में स्थिति ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जाता है जब वेग को साइन फ़ंक्शन के रूप में वर्णित किया जाता है या विद्युत में प्रत्यावर्ती धारा (alternating current) के औसत मानों को ज्ञात करने के लिए।

Why it matters: यह समाकलन ध्वनि तरंगों, प्रकाश तरंगों और हार्मोनिक गति जैसी भौतिक घटनाओं का वर्णन करने के लिए मौलिक है। यह भौतिकी और इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में ऑर्थोगोनल त्रिकोणमितीय घटकों और उनके गतिशील व्यवहार के बीच आवश्यक गणितीय कड़ी प्रदान करता है।

Symbols

Variables

I = Integral Value, x = Angle, $x_{u}$ = Upper Limit, $x_{l}$ = Lower Limit, $I_{d e f}$ = Definite Integral Value

I

Integral Value

(ignoring C)

x

Angle

rad

x_{u}

Upper Limit

rad

x_{l}

Lower Limit

rad

I_{d e f}

Definite Integral Value

(from lower to upper limit)

Walkthrough

Derivation

सूत्र: sin(x) का समाकलन

sin(x) का समाकलन -cos(x) है, जो कोसाइन के लिए अवकलन परिणाम को उलट देता है।

x को रेडियन में मापा जाता है।
x के संबंध में समाकलन किया जा रहा है।

कोसाइन के अवकलज को याद करें:

cos का अवकलन करने पर ऋणात्मक sin मिलता है।

\frac{d}{d x} (cos x) = - sin x

चिह्न समायोजित करें:

इसलिए $sin x$ का एक प्रति-अवकलज $- cos x$ है।

\frac{d}{d x} (- cos x) = sin x

समाकलन बताएँ:

अनिश्चित समाकलन के लिए समाकलन स्थिरांक C शामिल करें।

\int sin x d x = - cos x + C

Result

\int sin x d x = - cos x + C

Source: Edexcel A-Level Mathematics — Pure (Integration)

Visual intuition

Graph

ग्राफ एक साइनसोइडल आकार का अनुसरण करता है क्योंकि आउटपुट चर के ऋणात्मक कोसाइन द्वारा परिभाषित होता है, जिससे इनपुट बढ़ने पर वक्र ऋणात्मक एक और एक के बीच सुचारू रूप से दोलन करता है। गणित के छात्र के लिए, यह आकार दर्शाता है कि साइन फलन के नीचे संचित क्षेत्रफल इनपुट मानों के बढ़ने पर अनिश्चित काल तक बढ़ने के बजाय आवधिक रूप से अपने व्यवहार को दोहराता है। इस वक्र की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि दोलन की ऊर्ध्वाधर स्थिति निम्न सीमा के स्थिरांक मान द्वारा निर्धारित होती है, जो पूरे तरंग को ऊपर या नीचे शिफ्ट करती है बिना उसकी आवधिक प्रकृति को बदले।

Graph type: sinusoidal

Why it behaves this way

Intuition

समाकलन को साइन तरंग की ऊँचाइयों को छोटे अंतरालों पर लगातार जोड़ना समझें, जिसके परिणामस्वरूप एक नई तरंग (ऋणात्मक कोसाइन) बनती है।

Term

समाकलन ऑपरेटर, जो प्रति-अवकलज खोजने या किसी फलन के मानों के संचय की प्रक्रिया का प्रतिनिधित्व करता है।

अपने वक्र के नीचे के कुल क्षेत्रफल को खोजने के लिए फलन की ऊँचाई के अनंत रूप से कई छोटे ऊर्ध्वाधर टुकड़ों को जोड़ने की कल्पना करें।

Term

समाकल्य, वह फलन जिसका प्रति-अवकलज मांगा जा रहा है। यह एक साइनसोइडल दोलन का प्रतिनिधित्व करता है।

यह 'इनपुट' तरंग है, जो -1 और 1 के बीच सुचारू रूप से भिन्न होती है, जिसके संचित प्रभाव को हम माप रहे हैं।

Term

विभेदक तत्व, यह दर्शाता है कि समाकलन चर x के संबंध में है और x-अक्ष के साथ एक अतिसूक्ष्म वृद्धि का प्रतिनिधित्व करता है।

वक्र के नीचे प्रत्येक टुकड़े की सूक्ष्म, लुप्तप्राय चौड़ाई जिसे हम जोड़ रहे हैं।

Term

sin x का प्रति-अवकलज, जिसका अर्थ है वह फलन जो अवकलित होने पर sin x देता है।

यह 'आउटपुट' तरंग है, एक शिफ्टेड और उलटा कोसाइन वक्र, जो किसी भी बिंदु तक sin x के कुल संचित मान का प्रतिनिधित्व करता है।

Term

समाकलन स्थिरांक, जो एक मनमाना स्थिरांक मान का प्रतिनिधित्व करता है जो अवकलन पर लुप्त हो जाता है। यह प्रति-अवकलजों के परिवार के लिए जिम्मेदार है।

चूंकि स्थिरांक का अवकलज शून्य होता है, इसलिए संभव प्रति-अवकलजों का एक अनंत सेट होता है, सभी एक दूसरे से ऊर्ध्वाधर रूप से शिफ्टेड होते हैं।

Signs and relationships

-\cos x: ऋणात्मक चिह्न महत्वपूर्ण है क्योंकि cos x का अवकलज -sin x है। इसलिए, अवकलन से एक धनात्मक sin x प्राप्त करने के लिए, प्रति-अवकलज -cos x होना चाहिए, क्योंकि d/dx(-cos x) = -(-sin x) = sin x।

Free study cues

Insight

Canonical usage

In pure mathematics and physics, the argument x is treated as a dimensionless quantity (typically in radians), making the integral and its result also dimensionless.

Dimension note

The argument x of the sine function is inherently dimensionless (e.g., an angle in radians). Consequently, sin x and cos x are dimensionless.

One free problem

Practice Problem

sin(x) के निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करें, जिसकी निचली सीमा 0 और ऊपरी सीमा x = 3.14159 है।

Hint: ऊपरी सीमा पर -cos(x) व्यंजक का मूल्यांकन करें और निचली सीमा पर मान घटाएं।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

AC धारा का औसत मान। के संदर्भ में, sin(x) का समाकलन मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गणना को मॉडल के आकार, परिवर्तन दर, प्रायिकता या प्रतिबंध से जोड़ने में मदद करता है।

Study smarter

Tips

हमेशा ऋणात्मक चिन्ह को याद रखें: साइन का समाकलन ऋणात्मक कोसाइन होता है।
मूल साइन फ़ंक्शन पर वापस अवकलित करके परिणामों की जाँच करें।
सभी अनिश्चित समाकलनों के लिए एकीकरण स्थिरांक C को याद रखें।
कोसाइन फ़ंक्शन का मूल्यांकन करने से पहले सुनिश्चित करें कि चर x रेडियन में है।

Avoid these traps

Common Mistakes

ऋणात्मक चिन्ह को छोड़ देना।
अवकलन और समाकलन को मिलाना।

Common questions

Frequently Asked Questions

sin(x) का समाकलन -cos(x) है, जो कोसाइन के लिए अवकलन परिणाम को उलट देता है।

इस सूत्र को तब लागू करें जब आपको साइन वक्र के नीचे के क्षेत्र की गणना करनी हो या समय के साथ साइनसोइडली भिन्न होने वाली मात्रा के संचय को निर्धारित करना हो। इसका विशेष रूप से गतिविज्ञान (kinematics) में स्थिति ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जाता है जब वेग को साइन फ़ंक्शन के रूप में वर्णित किया जाता है या विद्युत में प्रत्यावर्ती धारा (alternating current) के औसत मानों को ज्ञात करने के लिए।

यह समाकलन ध्वनि तरंगों, प्रकाश तरंगों और हार्मोनिक गति जैसी भौतिक घटनाओं का वर्णन करने के लिए मौलिक है। यह भौतिकी और इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में ऑर्थोगोनल त्रिकोणमितीय घटकों और उनके गतिशील व्यवहार के बीच आवश्यक गणितीय कड़ी प्रदान करता है।

ऋणात्मक चिन्ह को छोड़ देना। अवकलन और समाकलन को मिलाना।

हमेशा ऋणात्मक चिन्ह को याद रखें: साइन का समाकलन ऋणात्मक कोसाइन होता है। मूल साइन फ़ंक्शन पर वापस अवकलित करके परिणामों की जाँच करें। सभी अनिश्चित समाकलनों के लिए एकीकरण स्थिरांक C को याद रखें। कोसाइन फ़ंक्शन का मूल्यांकन करने से पहले सुनिश्चित करें कि चर x रेडियन में है।

References

Sources

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
Wikipedia: Antiderivative
Halliday, Resnick, Walker, Fundamentals of Physics
Atkins' Physical Chemistry
Wikipedia: Radian
Wikipedia: Trigonometric functions
Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals, 8th Edition.
Thomas' Calculus, 14th Edition.

sin(x) का समाकलन

Overview

Variables

Derivation

कोसाइन के अवकलज को याद करें:

चिह्न समायोजित करें:

समाकलन बताएँ:

Graph

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Integral of cos(x)

Frequently Asked Questions

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