गोलाकार हार्मोनिक्स

Core idea

Overview

गोलाकार हार्मोनिक्स L^2 और Lz के एक साथ आइगनफंक्शन हैं, इसलिए वे l और m क्वांटम संख्याओं को ले जाते हैं।

When to use: कठोर रोटर और परमाणु ऑर्बिटल्स के लिए उपयोग किए जाने वाले कोणीय फलन को परिभाषित करता है।

Why it matters: गोलाकार हार्मोनिक्स L^2 और Lz के एक साथ आइगनफंक्शन हैं, इसलिए वे l और m क्वांटम संख्याओं को ले जाते हैं।

Walkthrough

Derivation

गोलकीय हार्मोनिक्स की व्युत्पत्ति

कठोर घूर्णकों और परमाणु कक्षकों के लिए उपयोग किए जाने वाले कोणीय फलनों को परिभाषित करता है।

इस व्यंजक का उपयोग प्रविष्टि में नामित मॉडल के भीतर किया जाता है।

1

मॉडल से शुरू करें

दिखाए गए संबंध को नियम, परिभाषा या ऑपरेटर कथन के रूप में समझें।

Y_{l}^{m} (θ, ϕ) = (- 1)^{m} \frac{2 l + 1}{4 π} \frac{( l - m )!}{( l + m )!} P_{l}^{m} (cos θ) e^{im ϕ}

2

भौतिक भागों की पहचान करें

Spherical harmonics are simultaneous eigenfunctions of $L^{2}$ and Lz, so they carry the l and m quantum numbers.

Y_{l}^{m} (θ, ϕ) = (- 1)^{m} \frac{2 l + 1}{4 π} \frac{( l - m )!}{( l + m )!} P_{l}^{m} (cos θ) e^{im ϕ}

3

परिणाम का सावधानीपूर्वक उपयोग करें

व्यंजक को केवल तब लागू करें जब मॉडल की धारणाएँ संतुष्ट हों।

Y_{l}^{m} (θ, ϕ) = (- 1)^{m} \frac{2 l + 1}{4 π} \frac{( l - m )!}{( l + m )!} P_{l}^{m} (cos θ) e^{im ϕ}

Result

Y_{l}^{m} (θ, ϕ) = (- 1)^{m} \frac{2 l + 1}{4 π} \frac{( l - m )!}{( l + m )!} P_{l}^{m} (cos θ) e^{im ϕ}

Source: Chemistry LibreTexts, Rotational Motions of Rigid Molecules; Chemistry LibreTexts, Selection Rule for the Rigid Rotator

Why it behaves this way

Intuition

Derivation of Spherical harmonics को प्रणाली के व्यवहार के नक्शे की तरह पढ़ा जा सकता है: यह बताता है कि कौन-सी राशियां पैमाना तय करती हैं, कौन-सी प्रवृत्ति बदलती हैं और कौन-सी मान्यताएं सही रहनी चाहिए। रसायन विज्ञान में यह दृष्टि प्रतीकों को वास्तविक स्थिति से जोड़ती है।. सुरक्षित संकेतन: $L^{2}$ .

Term

प्रविष्टि 1: main expression का भौतिक अर्थ: यह राशि Derivation of Spherical harmonics में प्रयुक्त मॉडल के मापनीय या परिभाषित घटक को दर्शाती है, इसलिए इसे इकाइयों और शर्तों से जोड़कर पढ़ना चाहिए।

प्रविष्टि 1: main expression संबंध के पैमाने में अपना अलग योगदान देता है। Derivation of Spherical harmonics में इसका मान बदलने पर परिणाम की तीव्रता बदलती है, जबकि बाकी शर्तें स्थिर मानी जाती हैं। विशिष्ट संदर्भ: Derivation of Spherical harmonics. सुरक्षित संकेतन:

L^{2}

.

Signs and relationships

धनात्मक पद: मद संख्या।
ऋणात्मक पद: नंदिना

One free problem

Practice Problem

l = 2 के लिए, m के कौन से मान अनुमत हैं?

Hint: उस पर ध्यान केंद्रित करें जो सूत्र आपको भौतिक रूप से बता रहा है।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

atomic orbital models, the familiar p-orbital angular shapes are built from l = 1 spherical harmonics. Spherical Harmonics का उपयोग गणना के लिए किया जाता है $Y_l^m(\theta, \phi)$ मापे गए मूल्यों से. परिणाम महत्वपूर्ण है क्योंकि it helps connect angular wavefunction shape to quantum numbers and orbital behavior.

Study smarter

Tips

l कुल कोणीय आकार को नियंत्रित करता है।
m z-अक्ष प्रक्षेपण और फाई निर्भरता को नियंत्रित करता है।

Avoid these traps

Common Mistakes

यह भूल जाना कि m को -l <= m <= l को संतुष्ट करना चाहिए।
गोलाकार हार्मोनिक्स को रेडियल तरंग फलन के साथ भ्रमित करना।

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

कठोर घूर्णकों और परमाणु कक्षकों के लिए उपयोग किए जाने वाले कोणीय फलनों को परिभाषित करता है।

कठोर रोटर और परमाणु ऑर्बिटल्स के लिए उपयोग किए जाने वाले कोणीय फलन को परिभाषित करता है।

गोलाकार हार्मोनिक्स L^2 और Lz के एक साथ आइगनफंक्शन हैं, इसलिए वे l और m क्वांटम संख्याओं को ले जाते हैं।

यह भूल जाना कि m को -l <= m <= l को संतुष्ट करना चाहिए। गोलाकार हार्मोनिक्स को रेडियल तरंग फलन के साथ भ्रमित करना।

atomic orbital models, the familiar p-orbital angular shapes are built from l = 1 spherical harmonics. Spherical Harmonics का उपयोग गणना के लिए किया जाता है $Y_l^m(\theta, \phi)$ मापे गए मूल्यों से. परिणाम महत्वपूर्ण है क्योंकि it helps connect angular wavefunction shape to quantum numbers and orbital behavior.

l कुल कोणीय आकार को नियंत्रित करता है। m z-अक्ष प्रक्षेपण और फाई निर्भरता को नियंत्रित करता है।

References

Sources

Chemistry LibreTexts, Rotational Motions of Rigid Molecules; Chemistry LibreTexts, Selection Rule for the Rigid Rotator
Chemistry LibreTexts, Rotational Motions of Rigid Molecules
Chemistry LibreTexts, Selection Rule for the Rigid Rotator
Wikipedia: Spherical harmonics
NIST CODATA: Fundamental Physical Constants
Griffiths, David J. (2018). Introduction to Quantum Mechanics (3rd ed.). Cambridge University Press.
Wikipedia, "Spherical harmonics"