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दो-नमूना टी-टेस्ट सांख्यिकी (स्वतंत्र नमूने)

Q: What are common mistakes with the दो-नमूना टी-टेस्ट सांख्यिकी (स्वतंत्र नमूने) formula?

जब नमूना आकार या वितरण काफी भिन्न होते हैं तो समान प्रसरणों को मानना। यह पुष्टि करने में विफलता कि नमूने वास्तव में स्वतंत्र हैं (जैसे, इसे युग्मित डेटा पर उपयोग करना)। अनपूलड संस्करण के बजाय मानक पूल्ड प्रसरण सूत्र का उपयोग करना।

यह सांख्यिकी निर्धारित करती है कि क्या दो स्वतंत्र समूहों के माध्य के बीच का अंतर सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण है जब जनसंख्या प्रसरण अज्ञात हों।

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t = \frac{( x ˉ _{1} - x ˉ _{2} ) - ( μ _{1} - μ _{2} )}{\frac{s _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{s _{2}^{2}}{n _{2}}}

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Core idea

Overview

वेल्च के टी-टेस्ट के रूप में भी जाना जाता है, इस सूत्र का उपयोग विषम प्रसरणों की धारणा के तहत दो स्वतंत्र नमूनों के माध्य की तुलना करने के लिए किया जाता है। यह मानक त्रुटि की इकाइयों में नमूना माध्यों के देखे गए अंतर और परिकल्पित जनसंख्या अंतर के बीच की दूरी को मापता है। परिणामी टी-मान की तुलना फिर पी-मान निर्धारित करने के लिए टी-वितरण के मुकाबले की जाती है।

When to use: इस परीक्षण का उपयोग तब करें जब दो स्वतंत्र समूहों के माध्य की तुलना की जा रही हो जब जनसंख्या मानक विचलन अज्ञात हों और आप समान प्रसरणों को नहीं मान सकते।

Why it matters: यह वैज्ञानिक अनुसंधान और ए/बी परीक्षणों में एक मौलिक उपकरण है, जो विश्लेषकों को विचरण की एकरूपता की धारणा के बिना सीमित नमूना डेटा से जनसंख्या अंतर का अनुमान लगाने की अनुमति देता है।

Symbols

Variables

t = t-statistic, $\overset{x}{ˉ}$ _1 = Mean of sample 1, $\overset{x}{ˉ}$ _2 = Mean of sample 2, $s_{1}^{2}$ = Variance of sample 1, $s_{2}^{2}$ = Variance of sample 2

t

t-statistic

Variable

\overset{x}{ˉ}_{1}

Mean of sample 1

Variable

\overset{x}{ˉ}_{2}

Mean of sample 2

Variable

s_{1}^{2}

Variance of sample 1

Variable

s_{2}^{2}

Variance of sample 2

Variable

n_{1}

Size of sample 1

Variable

n_{2}

Size of sample 2

Variable

diff

Hypothesized difference

Variable

Walkthrough

Derivation

दो-नमूना टी-टेस्ट सांख्यिकी (स्वतंत्र नमूने)

यह व्युत्पत्ति नमूना वितरण के गुणों का उपयोग करती है ताकि दो नमूना माध्यों के बीच के अंतर को मानकीकृत करके टी-वितरण का पालन करने वाली परीक्षण सांख्यिकी का निर्माण किया जा सके।

दो नमूने एक दूसरे से स्वतंत्र हैं।
जिन जनसंख्या से नमूने लिए गए हैं, वे लगभग सामान्य रूप से वितरित हैं।
जनसंख्या विचरण अज्ञात हैं, जिसके लिए नमूना विचरण को अनुमान के रूप में उपयोग करना आवश्यक है।

माध्यों में अंतर के नमूना वितरण को परिभाषित करें

चूंकि स्वतंत्र सामान्य जनसंख्या के नमूना माध्य स्वयं सामान्य रूप से वितरित होते हैं, इसलिए उनके अंतर एक सामान्य वितरण का पालन करते हैं जो जनसंख्या माध्यों के अंतर पर केंद्रित होता है जिसमें एक संयुक्त विचरण होता है।

(\overset{x}{ˉ}_{1} - \overset{x}{ˉ}_{2}) \sim N (μ_{1} - μ_{2}, \frac{σ _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{σ _{2}^{2}}{n _{2}})

Note: दो स्वतंत्र चर के अंतर का विचरण उनके व्यक्तिगत विचरणों का योग होता है।

मानकीकरण (Z-स्कोर)

हम अपेक्षित मान को घटाकर और मानक त्रुटि से विभाजित करके नमूना माध्यों में अंतर को एक मानक सामान्य चर में बदलते हैं।

Z = \frac{( x ˉ _{1} - x ˉ _{2} ) - ( μ _{1} - μ _{2} )}{\frac{σ _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{σ _{2}^{2}}{n _{2}}} \sim N (0, 1)

Note: इस चरण के लिए जनसंख्या विचरणों के ज्ञान की आवश्यकता होती है, जो आमतौर पर अज्ञात होते हैं।

नमूना विचरणों का प्रतिस्थापन

चूंकि जनसंख्या विचरण अज्ञात हैं, हम उन्हें नमूना विचरण $s_{1}^{2}$ और $s_{2}^{2}$ से प्रतिस्थापित करते हैं। यह प्रतिस्थापन Z-वितरण को टी-वितरण में परिवर्तित करता है।

t = \frac{( x ˉ _{1} - x ˉ _{2} ) - ( μ _{1} - μ _{2} )}{\frac{s _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{s _{2}^{2}}{n _{2}}}

Note: जब विचरणों को असमान माना जाता है तो इसे वेल्च टी-परीक्षण के रूप में जाना जाता है; स्वतंत्रता की डिग्री वेल्च-सॉथरथवेट समीकरण के माध्यम से अनुमानित की जाती है।

Result

t = \frac{( x ˉ _{1} - x ˉ _{2} ) - ( μ _{1} - μ _{2} )}{\frac{s _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{s _{2}^{2}}{n _{2}}}

Source: Welch, B. L. (1947). 'The generalization of 'Student's' problem when several different population variances are involved'.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $\overset{x}{ˉ}_{1}$

$\overset{x}{ˉ}$ _1 को विषय बनाएं

\overset{x}{ˉ}_{1} = t \frac{s _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{s _{2}^{2}}{n _{2}} + \overset{x}{ˉ}_{2} + (μ_{1} - μ_{2})

$\overset{x}{ˉ}$ _1 को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें.

Difficulty: 3/5

Solve for $\overset{x}{ˉ}_{2}$

$\overset{x}{ˉ}$ _2 को विषय बनाएं

\overset{x}{ˉ}_{2} = \overset{x}{ˉ}_{1} - (μ_{1} - μ_{2}) - t \frac{s _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{s _{2}^{2}}{n _{2}}

bar_ $x_{2}$ को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें.

Difficulty: 3/5

Solve for $μ_{1}$

$μ_{1}$ को विषय बनाएं

μ_{1} = (\overset{x}{ˉ}_{1} - \overset{x}{ˉ}_{2}) - t \frac{s _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{s _{2}^{2}}{n _{2}} + μ_{2}

$μ_{1}$ को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें.

Difficulty: 3/5

Solve for $μ_{2}$

$μ_{2}$ को विषय बनाएं

μ_{2} = μ_{1} - (\overset{x}{ˉ}_{1} - \overset{x}{ˉ}_{2}) + t \frac{s _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{s _{2}^{2}}{n _{2}}

$μ_{2}$ को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें.

Difficulty: 3/5

Solve for $s_{1}$

$s_{1}$ को विषय बनाएं

s_{1} = n_{1} ([\frac{( x ˉ _{1} - x ˉ _{2} ) - ( μ _{1} - μ _{2} )}{t}]^{2} - \frac{s _{2}^{2}}{n _{2}})

$s_{1}$ को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें.

Difficulty: 5/5

Solve for $s_{2}$

$s_{2}$ को विषय बनाएं

s_{2} = n_{2} ([\frac{( x ˉ _{1} - x ˉ _{2} ) - ( μ _{1} - μ _{2} )}{t}]^{2} - \frac{s _{1}^{2}}{n _{1}})

Isolate the second sample variance term following similar steps to $s_{1}$ .

Difficulty: 5/5

Solve for $n_{1}$

$n_{1}$ को विषय बनाएं

n_{1} = \frac{s _{1}^{2}}{[ \frac{( x ˉ _{1} - x ˉ _{2} ) - ( μ _{1} - μ _{2} )}{t} ] ^{2} - \frac{s _{2}^{2}}{n _{2}}}

$n_{1}$ को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें.

Difficulty: 5/5

Solve for $n_{2}$

$n_{2}$ को विषय बनाएं

n_{2} = \frac{s _{2}^{2}}{[ \frac{( x ˉ _{1} - x ˉ _{2} ) - ( μ _{1} - μ _{2} )}{t} ] ^{2} - \frac{s _{1}^{2}}{n _{1}}}

$n_{2}$ को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें.

Difficulty: 5/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

एक संख्या रेखा पर तैरते हुए दो अलग-अलग घंटी के आकार के संभाव्यता वितरण की कल्पना करें। अंश-गणक उनके शिखरों (केंद्रों) के बीच की भौतिक दूरी को मापता है। हर एक 'शासक' के रूप में कार्य करता है जो दो वितरणों के प्रसार (अनिश्चितता/विचरण) के आधार पर सिकुड़ता या फैलता है; टी-सांख्यिकी 'रूलर-लंबाई' की संख्या है जिसके द्वारा दो चोटियों को अलग किया जाता है।

Term

टी आँकड़ा

एक संकेत-टू-शोषण अनुपात: यह आपको बताता है कि कितने मानक त्रुटियां देखी गई अंतर hypothesized अंतर से है।

Term

नमूने में अंतर का मतलब है

दोनों के औसत परिणामों के बीच 'सिग्नल' या कच्चा देखा गया अंतर समूह.

Term

जनसंख्या में परिकल्पित अंतर का अर्थ है

'शून्य आधार रेखा'; आम तौर पर शून्य, इस धारणा का प्रतिनिधित्व करता है कि समूहों के बीच कोई वास्तविक अंतर नहीं है।

Term

वर्गीकृत मानक त्रुटियों का योग

हमारे अनुमान में कुल 'शोर' या अनिश्चितता, यह संयोजन करते हुए कि प्रत्येक समूह कितना भिन्न होता है (s²) हमारे पास कितने डेटा बिंदु हैं (n).

Signs and relationships

x̄₁ - x̄₂: घटाव अंतर की दिशा को परिभाषित करता है; एक सकारात्मक परिणाम इंगित करता है कि पहले समूह का माध्य अधिक है, जबकि नकारात्मक इंगित करता है कि दूसरे का माध्य अधिक है।
Denominator square root: हम मानक विचलन के बजाय भिन्नताओं (s²/n) का योग करते हैं क्योंकि भिन्नताएं योगात्मक होती हैं; वर्गमूल लेने से कुल विचरण वापस माध्य (मानक त्रुटि) के समान इकाइयों में परिवर्तित हो जाता है।

One free problem

Practice Problem

दो समूहों का परीक्षण किया जाता है। समूह 1: माध्य=50, $s^{2}$ =10, n=20। समूह 2: माध्य=45, $s^{2}$ =12, n=25। यह मानते हुए कि परिकल्पित अंतर (mu1-mu2) 0 है, टी-सांख्यिकी क्या है?

Hint: s1^2/n1 और s2^2/n2 को जोड़कर हर की गणना करें, फिर परिणाम का वर्गमूल लें।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

एक चिकित्सा शोधकर्ता यह देखने के लिए एक नई दवा का उपयोग करने वाले रोगियों के औसत रिकवरी समय की तुलना एक प्लेसबो समूह से करता है कि क्या दवा रिकवरी पर महत्वपूर्ण रूप से प्रभाव डालती है।

Study smarter

Tips

यदि नमूना आकार छोटा है (n < 30) तो हमेशा सामान्यता के लिए जांचें।
इस परीक्षण के लिए स्वतंत्रता की डिग्री की गणना करने के लिए वेल्च-सैटरथवेट समीकरण का उपयोग करें।
सुनिश्चित करें कि नमूने स्वतंत्र हैं, जिसका अर्थ है कि एक विषय का चयन दूसरे के चयन को प्रभावित नहीं करता है।

Avoid these traps

Common Mistakes

जब नमूना आकार या वितरण काफी भिन्न होते हैं तो समान प्रसरणों को मानना।
यह पुष्टि करने में विफलता कि नमूने वास्तव में स्वतंत्र हैं (जैसे, इसे युग्मित डेटा पर उपयोग करना)।
अनपूलड संस्करण के बजाय मानक पूल्ड प्रसरण सूत्र का उपयोग करना।

Common questions

Frequently Asked Questions

इस परीक्षण का उपयोग तब करें जब दो स्वतंत्र समूहों के माध्य की तुलना की जा रही हो जब जनसंख्या मानक विचलन अज्ञात हों और आप समान प्रसरणों को नहीं मान सकते।

यह वैज्ञानिक अनुसंधान और ए/बी परीक्षणों में एक मौलिक उपकरण है, जो विश्लेषकों को विचरण की एकरूपता की धारणा के बिना सीमित नमूना डेटा से जनसंख्या अंतर का अनुमान लगाने की अनुमति देता है।

जब नमूना आकार या वितरण काफी भिन्न होते हैं तो समान प्रसरणों को मानना। यह पुष्टि करने में विफलता कि नमूने वास्तव में स्वतंत्र हैं (जैसे, इसे युग्मित डेटा पर उपयोग करना)। अनपूलड संस्करण के बजाय मानक पूल्ड प्रसरण सूत्र का उपयोग करना।

यदि नमूना आकार छोटा है (n < 30) तो हमेशा सामान्यता के लिए जांचें। इस परीक्षण के लिए स्वतंत्रता की डिग्री की गणना करने के लिए वेल्च-सैटरथवेट समीकरण का उपयोग करें। सुनिश्चित करें कि नमूने स्वतंत्र हैं, जिसका अर्थ है कि एक विषय का चयन दूसरे के चयन को प्रभावित नहीं करता है।

References

Sources

Rice, J. A. (2006). Mathematical Statistics and Data Analysis.
Welch, B. L. (1947). The generalization of 'Student's' problem when several different population variances are involved.
Welch, B. L. (1947). 'The generalization of 'Student's' problem when several different population variances are involved'.

दो-नमूना टी-टेस्ट सांख्यिकी (स्वतंत्र नमूने)

Overview

Variables

Derivation

माध्यों में अंतर के नमूना वितरण को परिभाषित करें

मानकीकरण (Z-स्कोर)

नमूना विचरणों का प्रतिस्थापन

Rearrangements

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

One-Sample t-Test

Pooled Two-Sample t-Test

Frequently Asked Questions

Sources