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Traccia di una Matrice Calculator

La somma degli elementi diagonali di una matrice quadrata, che è anche uguale alla somma dei suoi autovalori.

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Result
Ready
Matrix Trace

Formula first

Overview

La traccia di una matrice quadrata è il valore scalare definito come la somma degli elementi lungo la sua diagonale principale. È un operatore fondamentale nell'algebra lineare che è uguale alla somma degli autovalori della matrice e rimane invariante sotto trasformazioni di similitudine.

Symbols

Variables

tr(A) = Matrix Trace, = Diagonal Element a11, = Diagonal Element a22

tr(A)
Matrix Trace
The sum of the diagonal elements
Diagonal Element a11
The first element on the main diagonal
Diagonal Element a22
The second element on the main diagonal

Apply it well

When To Use

When to use: Utilizzare la traccia quando è necessario calcolare la somma degli autovalori o identificare proprietà invarianti di una trasformazione lineare. Viene anche applicata nel calcolo del prodotto scalare di due matrici o nell'analisi della divergenza di un campo vettoriale nel calcolo tensoriale.

Why it matters: La traccia è vitale perché semplifica complesse operazioni matriciali in un singolo scalare che cattura informazioni essenziali sul sistema. In fisica, viene utilizzata nella meccanica quantistica per trovare valori di aspettazione e in termodinamica per definire la funzione di partizione.

Avoid these traps

Common Mistakes

  • Tentare di calcolare la traccia per una matrice non quadrata.
  • Supporre tr(ABC) = tr(ACB); sono garantite solo le permutazioni cicliche come tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB).
  • Confondere la traccia con il determinante.

One free problem

Practice Problem

Una matrice quadrata 2×2 A ha elementi diagonali a₁₁ = x e a₂₂ = y. Calcola la traccia (risultato) della matrice A.

Hint: La traccia si ottiene sommando i numeri situati sulla diagonale principale dall'angolo in alto a sinistra all'angolo in basso a destra.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

References

Sources

  1. Linear Algebra and Its Applications by Gilbert Strang
  2. Wikipedia: Trace (linear algebra)
  3. Bird, R. Byron; Stewart, Warren E.; Lightfoot, Edwin N. (2007). Transport Phenomena (2nd ed.). John Wiley & Sons.
  4. Callen, Herbert B. (1985). Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics (2nd ed.). John Wiley & Sons.
  5. Lay, David C. Linear Algebra and Its Applications. Pearson, 2016.
  6. Trace (linear algebra). Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Trace_(linear_algebra)
  7. Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.