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Equazione di Darcy-Weisbach

L'equazione di Darcy-Weisbach calcola la perdita di carico totale in un tubo circolare dovuta sia alla resistenza all'attrito che alle perdite secondarie.

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H_{L 12} = {\frac{2 ⟨ v ⟩ ^{2}}{D g} [(i \sum L_{i}) f + \frac{D}{4} (i \sum e_{v, i})] \frac{32 Q ^{2}}{π ^{2} D ^{5} g} [(i \sum L_{i}) f + \frac{D}{4} (i \sum e_{v, i})]

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Core idea

Overview

Questa equazione mette in relazione la perdita di energia di un fluido che scorre attraverso un tubo con la velocità media o la portata volumetrica, la geometria del tubo e il fattore di attrito. Tiene conto delle perdite primarie causate dall'attrito della parete del tubo sulla lunghezza totale e delle perdite secondarie derivanti da raccordi, valvole e cambiamenti nella geometria del tubo. La formulazione è applicabile sia ai regimi di flusso laminare che turbolento, a condizione che venga determinato il fattore di attrito appropriato.

When to use: Utilizzare questa equazione quando si determina la caduta di pressione o la perdita di energia in un sistema di flusso completamente sviluppato all'interno di un condotto circolare.

Why it matters: È lo strumento fondamentale per la progettazione di sistemi di tubazioni, garantendo che le pompe siano dimensionate correttamente per superare la resistenza e mantenere le portate richieste.

Symbols

Variables

$H_{L 12}$ = $H_{L 12}$

H_{L 12}

H_{L12}

Variable

Walkthrough

Derivation

Derivazione dell'equazione di Darcy-Weisbach

L'equazione di Darcy-Weisbach collega la perdita di carico totale in un sistema di tubazioni alle perdite per attrito e alle perdite minori. Si deriva combinando la dissipazione di energia dovuta allo sforzo di taglio alla parete con le perdite di energia causate da raccordi e variazioni geometriche della tubazione.

Il fluido è incomprimibile.
Il flusso è completamente sviluppato all'interno delle sezioni di tubo.
Il tubo è circolare con diametro costante D.
Le perdite minori sono additive e proporzionali al carico di velocità.

Forma fondamentale di Darcy-Weisbach

Questa è la base empirica per la perdita di carico per attrito ( $H_{f}$ ) in un tubo di lunghezza L e diametro D, dove f è il fattore di attrito di Darcy e v è la velocità media.

H_{f} = f \frac{L}{D} \frac{v ^{2}}{2 g}

Note: Il fattore di attrito f è adimensionale e dipende dal numero di Reynolds e dalla rugosità del tubo.

Incorporazione delle perdite minori

La perdita di carico totale ( $H_{L 12}$ ) è la somma delle perdite per attrito sulla lunghezza totale e delle perdite minori ( $H_{min or}$ ) rappresentate dai coefficienti di perdita $e_{v, i}$ moltiplicati per il carico di velocità.

H_{L 12} = H_{f} + \sum H_{min or} = f \frac{( \sum L _{i} )}{D} \frac{v ^{2}}{2 g} + \sum (e_{v, i} \frac{v ^{2}}{2 g})

Note: Le perdite minori tengono conto della dissipazione di energia in valvole, curve e transizioni.

Raccolta del carico di velocità

Raccogliendo il termine del carico di velocità, raggruppiamo le componenti di perdita per attrito e di perdita minore. L'espressione viene riordinata per corrispondere alla struttura della formula richiesta.

H_{L 12} = \frac{v ^{2}}{2 g} [\frac{( \sum L _{i} ) f}{D} + \sum e_{v, i}] = \frac{v ^{2}}{D 2 g} [(\sum L_{i}) f + \frac{D}{4} (4 \sum e_{v, i})]

Note: Assicurati che le unità siano coerenti; v è la velocità media ⟨v⟩.

Conversione in portata volumetrica

Sostituendo l'equazione di continuità v = Q/A si può esprimere la perdita di carico in termini della portata volumetrica Q invece che della velocità media.

v = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{π D ^{2} /4} = \frac{4 Q}{π D ^{2}} ⟹ v^{2} = \frac{16 Q ^{2}}{π ^{2} D ^{4}}

Note: Questo è utile quando è nota la portata anziché la velocità.

Sostituzione finale

Sostituendo l'espressione per $v^{2}$ nella formula basata sulla velocità si ottiene la formula basata sulla portata.

H_{L 12} = \frac{2 ( 16 Q ^{2} / π ^{2} D ^{4} )}{D g} [...] = \frac{32 Q ^{2}}{π ^{2} D ^{5} g} [...]

Note: Il termine $D^{5}$ al denominatore evidenzia l'elevata sensibilità della perdita di carico al diametro del tubo.

Result

H_{L 12} = \frac{2 ( 16 Q ^{2} / π ^{2} D ^{4} )}{D g} [...] = \frac{32 Q ^{2}}{π ^{2} D ^{5} g} [...]

Why it behaves this way

Intuition

Immagina un fluido che viaggia attraverso un tunnel. Mentre si muove, sfrega contro le pareti (perdite maggiori per attrito) e urta ostacoli come valvole o curve (perdite minori). La perdita di carico rappresenta l'altezza verticale che il fluido 'perderebbe' dalla sua energia potenziale per superare questa resistenza. Geometricamente, l'equazione somma tutte le lunghezze di tubo e tutte le resistenze dei raccordi, scalate dall'energia cinetica del flusso e dalla ristrettezza del tubo.

H_{L 12}

Perdita di carico totale tra i punti 1 e 2

L'altezza equivalente di fluido persa a causa di attrito e turbolenza; di fatto la 'tassa energetica' pagata per muovere il fluido attraverso il tubo.

f

Fattore di attrito di Darcy

Un coefficiente adimensionale che rappresenta la 'rugosità' e la resistenza della parete del tubo rispetto all'inerzia del flusso.

L_{i}

Lunghezza dei segmenti di tubo

La distanza totale che il fluido percorre a contatto con le pareti del tubo; più lungo è il percorso, più energia viene dissipata.

e_{v, i}

Coefficiente di perdita minore (K)

Un valore di 'penalità' per ogni valvola, gomito o giunzione che disturba il flusso regolare del fluido.

D

Diametro interno del tubo

La dimensione del 'tunnel'; tubi più piccoli costringono il fluido a muoversi più velocemente e a rimanere più vicino alle pareti, aumentando drasticamente la resistenza.

Q

Portata volumetrica

Il volume di fluido spinto attraverso il tubo al secondo; poiché la perdita di carico scala con Q al quadrato, raddoppiare la portata quadruplica l'energia richiesta.

g

Accelerazione di gravità

La costante che converte la perdita di energia in un 'carico' o altezza verticale equivalente.

Signs and relationships

f * somma(L_i): Positivo perché l'attrito si oppone sempre al moto e si accumula linearmente con la distanza percorsa.
D/4 * somma(e_{v, i}): Viene aggiunto al termine di lunghezza perché i raccordi forniscono ulteriori punti di dissipazione dell'energia, agendo di fatto come 'lunghezza extra' di tubo.
1/D^5: Indica un'estrema sensibilità alla dimensione del tubo; quando il tubo diventa più piccolo (il denominatore diminuisce), la perdita di carico esplode perché il fluido è costretto in un'area più piccola a velocità più elevate.

One free problem

Practice Problem

In un sistema di tubi orizzontali, se il diametro del tubo viene raddoppiato mentre la portata volumetrica rimane costante, come cambia la perdita di carico dovuta all'attrito, assumendo che il fattore di attrito rimanga costante?

Hint: Esaminare la dipendenza della formula della perdita di carico dal diametro D nel termine che coinvolge $Q^{2}$ / $D^{5}$ .

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

I sistemi di distribuzione idrica municipale utilizzano questa equazione per calcolare la prevalenza della pompa richiesta per trasportare l'acqua da un impianto di trattamento a serbatoi di stoccaggio elevati, tenendo conto dell'attrito del tubo e delle perdite delle valvole.

Study smarter

Tips

Assicurarsi che il fattore di attrito utilizzato sia coerente con il numero di Reynolds del flusso.
Verificare che tutti i coefficienti di perdita secondaria siano definiti sulla base della stessa altezza di velocità.
Verificare che le unità di lunghezza, diametro e gravità siano coerenti durante il calcolo.

Avoid these traps

Common Mistakes

Confondere il fattore di attrito di Darcy con il fattore di attrito di Fanning (che è quattro volte più piccolo).
Trascurare di tenere conto della variazione del fattore di attrito con il numero di Reynolds nel flusso turbolento.

Common questions

Frequently Asked Questions

Utilizzare questa equazione quando si determina la caduta di pressione o la perdita di energia in un sistema di flusso completamente sviluppato all'interno di un condotto circolare.

È lo strumento fondamentale per la progettazione di sistemi di tubazioni, garantendo che le pompe siano dimensionate correttamente per superare la resistenza e mantenere le portate richieste.

Confondere il fattore di attrito di Darcy con il fattore di attrito di Fanning (che è quattro volte più piccolo). Trascurare di tenere conto della variazione del fattore di attrito con il numero di Reynolds nel flusso turbolento.

Assicurarsi che il fattore di attrito utilizzato sia coerente con il numero di Reynolds del flusso. Verificare che tutti i coefficienti di perdita secondaria siano definiti sulla base della stessa altezza di velocità. Verificare che le unità di lunghezza, diametro e gravità siano coerenti durante il calcolo.

References

Sources

Munson, B. R., Young, D. F., & Okiishi, T. H. (2006). Fundamentals of Fluid Mechanics. Wiley.
White, F. M. (2011). Fluid Mechanics. McGraw-Hill.
NIST CODATA
IUPAC Gold Book
Wikipedia: Darcy–Weisbach equation
NIST Chemistry WebBook
Britannica
Engineering Fluid Mechanics by Clayton T. Crowe, Donald F. Elger, John A. Roberson