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Funzione di Spesa

Determina la spesa minima richiesta per raggiungere un dato livello di utilità a prezzi specifici.

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Core idea

Overview

La funzione di spesa, denotata come $e(\mathbf{p}, u)$, è un concetto fondamentale in microeconomia che rappresenta il costo minimo per raggiungere un livello specifico di utilità ($u$) dati un vettore di prezzi ($\mathbf{p}$) per i beni. È derivata dal problema di massimizzazione dell'utilità del consumatore ed è cruciale per comprendere il comportamento del consumatore, l'analisi del benessere e la dualità tra massimizzazione dell'utilità e minimizzazione della spesa. *Ai fini di questo calcolatore, la funzione di utilità sottostante e il paniere di consumo sono semplificati per consentire una manipolazione algebrica diretta di prezzo, utilità e spesa.*

When to use: Applica questa funzione quando devi calcolare il costo più basso possibile per raggiungere un livello di utilità target, dati i prezzi di mercato. È particolarmente utile nell'economia del benessere per misurare il costo della vita, le variazioni compensative e le variazioni equivalenti, o per progettare programmi di sussidi ottimali.

Why it matters: La funzione di spesa è centrale per l'analisi del benessere, consentendo agli economisti di quantificare il valore monetario delle variazioni di utilità o dei prezzi. Sottende la derivazione delle funzioni di domanda Hicksiana (compensata) e fornisce uno strumento potente per comprendere come i consumatori adeguano la loro spesa per mantenere un certo standard di vita in mezzo ai cambiamenti di prezzo, senza essere confusi dagli effetti sul reddito.

Symbols

Variables

p = Price (simplified), u = Utility Level, x = Quantity (simplified), U = Utility Function (simplified), e = Minimum Expenditure

Price (simplified)
$
Utility Level
utils
Quantity (simplified)
units
Utility Function (simplified)
function
Minimum Expenditure
$

Walkthrough

Derivation

Formula: Funzione di Spesa

La funzione di spesa definisce il costo minimo per raggiungere un dato livello di utilità dati i prezzi.

  • Le preferenze dei consumatori sono razionali, complete, transitive, continue e localmente non saziate.
  • I prezzi sono positivi e fissi.
  • La funzione di utilità è continua e quasi-concava.
  • Il consumatore cerca di minimizzare la spesa soggetta al raggiungimento di un livello di utilità target.
1

Definire il Problema di Minimizzazione della Spesa:

Il consumatore sceglie un paniere di consumo per minimizzare la spesa totale , soggetto al raggiungimento di almeno un livello di utilità target dalla funzione di utilità .

2

Formare il Lagrangiano:

Il Lagrangiano è impostato per risolvere questo problema di ottimizzazione con vincolo, dove è il moltiplicatore di Lagrange che rappresenta il costo marginale dell'aumento dell'utilità.

3

Condizioni del Primo Ordine (FOCs):

Le FOC implicano che all'ottimo, il rapporto tra utilità marginale e prezzo è uguale per tutti i beni, ed è uguale all'inverso del moltiplicatore di Lagrange (l'utilità marginale del denaro).

4

Risolvere per le Domande Hicksiane:

Risolvere le FOC fornisce le funzioni di domanda Hicksiane (o compensate), che mostrano la quantità di ciascun bene domandata in funzione dei prezzi e del livello di utilità target.

5

Sostituire nella Funzione di Spesa:

Sostituire le funzioni di domanda Hicksiane nella funzione obiettivo di spesa per ottenere la spesa minima richiesta per raggiungere l'utilità ai prezzi .

Result

Source: Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. 3rd ed. W. W. Norton & Company, 1992. Chapter 3: Consumer Choice.

Why it behaves this way

Intuition

Visualizza una superficie multidimensionale dove ogni punto rappresenta una combinazione di beni e la sua altezza rappresenta il costo totale. La funzione di spesa trova il punto più basso su questa superficie di costo che giace ancora su

Term
La spesa totale minima richiesta per raggiungere un livello specifico di utilità.
Ti dice il modo assolutamente più economico per raggiungere un livello desiderato di soddisfazione dati i prezzi di mercato correnti.
Term
Un vettore che rappresenta i prezzi di mercato per tutti i beni disponibili.
Quanto costa ogni singolo articolo.
Term
Un livello target specifico di utilità o soddisfazione che il consumatore desidera raggiungere.
La quantità desiderata di 'felicità' o benessere.
Term
Un vettore che rappresenta le quantità dei vari beni consumati.
Il paniere specifico di beni che un consumatore acquista.
Term
Il costo monetario totale di un paniere di consumo \mathbf{x}, calcolato come la somma di (prezzo del bene i * quantità del bene i) per tutti i beni.
Il tuo conto totale alla cassa per un set specifico di acquisti.
Term
La funzione di utilità, che quantifica la soddisfazione totale o il benessere derivante dal consumo di un paniere specifico di beni \mathbf{x}.
Quanta soddisfazione ottieni da un particolare paniere di acquisti.
Term
L'operazione matematica per trovare il valore più piccolo possibile della funzione obiettivo (spesa totale) selezionando il paniere di consumo ottimale \mathbf{x}.
Stai attivamente cercando il modo più economico per soddisfare i tuoi bisogni.
Term
Un vincolo che garantisce che il paniere di consumo scelto \mathbf{x} fornisca almeno il livello di utilità target u.
La soddisfazione che ottieni dai tuoi acquisti deve essere uguale o maggiore del tuo livello di felicità desiderato.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Uso canonico: Expenditure and prices are expressed in a consistent monetary unit, while utility is typically treated as an ordinal, unitless measure.

Dimension note

Nota adimensionale: The utility level (u) and the output of the utility function (U(x)) are typically considered dimensionless or assigned arbitrary units ('utils')

One free problem

Practice Problem

Utilizzando il modello di spesa semplificato , se un bene ha un prezzo per unità e il livello di utilità target è , qual è la spesa minima richiesta?

Hint: Moltiplica il prezzo per il livello di utilità.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Utilizzata dai governi per calcolare il costo di mantenimento di un certo standard di vita per le famiglie a basso reddito, informando le politiche di lotta alla povertà.

Study smarter

Tips

  • La funzione di spesa è non decrescente nei prezzi e crescente nell'utilità.
  • È concava nei prezzi, riflettendo che un consumatore può sostituire beni relativamente più costosi.
  • Il Lemma di Shephard afferma che la domanda Hicksiana per un bene è la derivata parziale della funzione di spesa rispetto al prezzo di quel bene.
  • La funzione di spesa è omogenea di grado uno nei prezzi (raddoppiare tutti i prezzi raddoppia la spesa minima).

Avoid these traps

Common Mistakes

  • Confondere la funzione di spesa con la funzione di utilità indiretta (sono inverse).
  • Supporre erroneamente una specifica funzione di utilità quando si deriva o si applica la funzione.
  • Interpretare erroneamente l'operatore 'min' come un semplice calcolo algebrico anziché un problema di ottimizzazione.

Common questions

Frequently Asked Questions

La funzione di spesa definisce il costo minimo per raggiungere un dato livello di utilità dati i prezzi.

Applica questa funzione quando devi calcolare il costo più basso possibile per raggiungere un livello di utilità target, dati i prezzi di mercato. È particolarmente utile nell'economia del benessere per misurare il costo della vita, le variazioni compensative e le variazioni equivalenti, o per progettare programmi di sussidi ottimali.

La funzione di spesa è centrale per l'analisi del benessere, consentendo agli economisti di quantificare il valore monetario delle variazioni di utilità o dei prezzi. Sottende la derivazione delle funzioni di domanda Hicksiana (compensata) e fornisce uno strumento potente per comprendere come i consumatori adeguano la loro spesa per mantenere un certo standard di vita in mezzo ai cambiamenti di prezzo, senza essere confusi dagli effetti sul reddito.

Confondere la funzione di spesa con la funzione di utilità indiretta (sono inverse). Supporre erroneamente una specifica funzione di utilità quando si deriva o si applica la funzione. Interpretare erroneamente l'operatore 'min' come un semplice calcolo algebrico anziché un problema di ottimizzazione.

Utilizzata dai governi per calcolare il costo di mantenimento di un certo standard di vita per le famiglie a basso reddito, informando le politiche di lotta alla povertà.

La funzione di spesa è non decrescente nei prezzi e crescente nell'utilità. È concava nei prezzi, riflettendo che un consumatore può sostituire beni relativamente più costosi. Il Lemma di Shephard afferma che la domanda Hicksiana per un bene è la derivata parziale della funzione di spesa rispetto al prezzo di quel bene. La funzione di spesa è omogenea di grado uno nei prezzi (raddoppiare tutti i prezzi raddoppia la spesa minima).

References

Sources

  1. Hal R. Varian, Microeconomic Analysis
  2. Walter Nicholson and Christopher Snyder, Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions
  3. Wikipedia: Expenditure function
  4. Mas-Colell, Whinston, and Green, Microeconomic Theory
  5. Hal R. Varian Microeconomic Analysis
  6. Walter Nicholson, Christopher Snyder Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions
  7. Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston, Jerry R. Green Microeconomic Theory
  8. Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. 3rd ed. W. W. Norton & Company, 1992. Chapter 3: Consumer Choice.