Valore Attuale di una Perpetuità con Crescita

Core idea

Overview

La formula del Valore Attuale di una Perpetuità con Crescita, spesso chiamata Modello di Gordon-Galles, è uno strumento fondamentale in finanza per valutare attività che dovrebbero generare un flusso di flussi di cassa indefinitamente, con ogni flusso di cassa che cresce a un tasso costante. Sconta questi futuri flussi di cassa crescenti al loro valore attuale, fornendo una singola cifra che rappresenta il valore corrente di quel futuro flusso di reddito. Questo modello è particolarmente utile per valutare azioni, immobili o aziende che si presume abbiano vita perpetua e crescita stabile.

When to use: Applicare questa formula quando si valuta un'attività che si prevede genererà flussi di cassa indefinitamente e si prevede che questi flussi di cassa crescano a un tasso costante e stabile. È fondamentale che il tasso di sconto (r) sia maggiore del tasso di crescita (g) affinché la formula produca un valore attuale significativo e finito. Questo modello è comunemente utilizzato nella valutazione di azioni, in particolare per aziende mature con crescita prevedibile.

Why it matters: Questa equazione è vitale per investitori e analisti finanziari in quanto fornisce un quadro teorico per determinare il valore intrinseco delle attività che generano reddito. Aiuta a prendere decisioni di investimento, valutare l'equità dei prezzi delle attività e comprendere l'impatto dei tassi di crescita e dei tassi di sconto sulla valutazione. La sua applicazione si estende alla finanza aziendale per la pianificazione del capitale e la pianificazione strategica.

Symbols

Variables

$C_{1}$ = Cash Flow in Period 1, r = Discount Rate, g = Growth Rate, PV = Present Value

C_{1}

Cash Flow in Period 1

$

r

Discount Rate

%

g

Growth Rate

%

PV

Present Value

$

Walkthrough

Derivation

Formula: Valore Attuale di una Rendita Perpetua con Crescita

Deriva la formula per il valore attuale di un flusso infinito di flussi di cassa che crescono a un tasso costante.

I flussi di cassa crescono a un tasso costante (g) indefinitamente.
Il tasso di sconto (r) è costante ed è maggiore del tasso di crescita (g).
Il primo flusso di cassa (C1) si verifica alla fine del primo periodo.

1

Definizione del Valore Attuale come Somma di Flussi di Cassa Scontati:

Il valore attuale (PV) è la somma di tutti i flussi di cassa futuri, ciascuno scontato al presente. C1 è il flusso di cassa nel primo periodo e cresce di (1+g) in ogni periodo successivo.

P V = \frac{C _{1}}{( 1 + r ) ^{1}} + \frac{C _{1} ( 1 + g )}{( 1 + r ) ^{2}} + \frac{C _{1} ( 1 + g ) ^{2}}{( 1 + r ) ^{3}} + \dots

2

Fattorizzazione e Riconoscimento come Serie Geometrica:

Si fattorizza C1. L'espressione tra parentesi è una serie geometrica infinita in cui il primo termine è a = 1/(1+r) e il rapporto comune è x = (1+g)/(1+r).

P V = C_{1} [\frac{1}{1 + r} + \frac{1 + g}{( 1 + r ) ^{2}} + \frac{( 1 + g ) ^{2}}{( 1 + r ) ^{3}} + \dots]

3

Applicazione della Formula della Somma di una Serie Geometrica Infinita:

La somma di una serie geometrica infinita a + ax + ax^2 + ... è a / (1-x), a condizione che |x| < 1. Qui, il primo termine è C1/(1+r) e il rapporto comune è (1+g)/(1+r). La condizione |x|<1 implica r > g.

P V = \frac{C _{1} \cdot \frac{1}{1 + r}}{1 - \frac{1 + g}{1 + r}}

4

Semplificazione dell'Espressione:

Si semplifica il denominatore trovando un denominatore comune. I termini (1+r) al numeratore e al denominatore della frazione principale si annullano.

P V = \frac{C _{1} / ( 1 + r )}{\frac{( 1 + r ) - ( 1 + g )}{1 + r}} = \frac{C _{1} / ( 1 + r )}{\frac{r - g}{1 + r}}

5

Formula Finale:

Questa è la formula semplificata per il valore attuale di una rendita perpetua con crescita, nota anche come Modello di Crescita di Gordon.

P V = \frac{C _{1}}{r - g}

Note: Questa formula è valida solo quando il tasso di sconto (r) è strettamente maggiore del tasso di crescita (g).

Result

P V = \frac{C _{1}}{r - g}

Source: Brealey, Myers, and Allen, Principles of Corporate Finance, Chapter 2: Present Value and the Opportunity Cost of Capital

Free formulas

Rearrangements

Solve for $C_{1}$

Valore Attuale di una Perpetuità con Crescita: Rendi C1 il soggetto.

C_{1} = P V \cdot (r - g)

Per prendere in considerazione $C_{1}$ (Flusso di cassa nel periodo 1), moltiplicare entrambi i lati dell'equazione per $(r - g)$ .

Difficulty: 2/5

Solve for $r$

Valore Attuale di una Perpetuità con Crescita: Ricavare r

r = \frac{C _{1}}{P V} + g

Per rendere $r$ (Tasso di sconto) l'oggetto, isolare innanzitutto il termine $(r - g)$ , quindi aggiungere $g$ su entrambi i lati.

Difficulty: 3/5

Solve for $g$

Valore attuale di una perpetuità con crescita: rendere g il soggetto

g = r - \frac{C _{1}}{P V}

Per rendere $g$ (tasso di crescita) l'argomento, isolare prima il termine $(r - g)$ , quindi sottrarre $r$ e moltiplicare per -1 oppure riorganizzare i termini.

Difficulty: 3/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

Il grafico forma un'iperbole perché il tasso di sconto appare al denominatore, il che significa che il valore attuale diminuisce all'aumentare del tasso di sconto. Per uno studente di economia, questa forma illustra che tassi di sconto più elevati riducono significativamente il valore attuale dei flussi di cassa futuri, mentre tassi di sconto molto bassi fanno aumentare bruscamente il valore attuale. La caratteristica più importante di questa curva è che il valore attuale non raggiunge mai zero, riflettendo il fatto che anche con un tasso di sconto elevato, un flusso infinito di flussi di cassa in crescita mantiene un valore positivo.

Graph type: hyperbolic

Why it behaves this way

Intuition

La formula somma una serie infinita di flussi di cassa futuri, ciascuno crescendo di 'g' ma scontato di 'r', dove l'effetto netto (r-g) assicura che la somma converga a un valore attuale finito, come un valore decrescente ma mai

Term

Il valore monetario attuale di un flusso infinito di flussi di cassa futuri.

Quanto vale oggi un flusso di reddito perpetuo e crescente. Un PV più alto significa che l'attività è più preziosa ora.

Term

Il flusso di cassa previsto ricevuto alla fine del primo periodo.

Il pagamento iniziale nella serie infinita. Un

C_{1}

più grande aumenta direttamente il valore attuale.

Term

Il tasso di sconto, che rappresenta il tasso di rendimento richiesto o il costo opportunità del capitale.

Il tasso al quale il denaro futuro viene svalutato al suo equivalente attuale. Un 'r' più alto riduce il valore attuale, riflettendo un rischio maggiore o migliori investimenti alternativi.

Term

Il tasso costante al quale si prevede che i flussi di cassa futuri crescano.

Quanto velocemente aumenta il flusso di reddito ogni periodo. Un 'g' più alto aumenta il valore attuale, poiché i pagamenti futuri sono maggiori.

Signs and relationships

r - g: La differenza 'r - g' rappresenta il tasso di sconto netto effettivo. Il tasso di crescita 'g' riduce l'impatto del tasso di sconto 'r', rendendo i flussi di cassa futuri relativamente più preziosi.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Uso canonico: This equation requires consistent monetary units for cash flows and present value, and consistent dimensionless units (decimals) for discount and growth rates, all over the same time period.

Dimension note

Nota adimensionale: The discount rate (r) and growth rate (g) are dimensionless ratios, typically expressed as decimals in calculations. The present value (PV) and cash flow ( $C_{1}$ ) are expressed in monetary units.

One free problem

Practice Problem

Un'azienda dovrebbe pagare un dividendo di 100 l'anno prossimo, e si prevede che questi dividendi crescano a un tasso costante del 5% indefinitamente. Se il tasso di rendimento richiesto per questo titolo è del 10%, qual è il valore attuale di questa perpetuità?

Hint: Assicurati che il tasso di sconto sia maggiore del tasso di crescita.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Nel contesto di Valutare un'azione che paga dividendi con una politica di dividendi stabile e in crescita, Valore Attuale di una Perpetuità con Crescita serve a trasformare le misure in un valore interpretabile. Il risultato è importante perché aiuta a confrontare incentivi, effetti delle politiche, risultati di mercato o decisioni finanziarie.

Study smarter

Tips

Assicurati che r > g; altrimenti, la formula produce un valore infinito o negativo, indicando che il modello non è applicabile.
C1 rappresenta il flusso di cassa alla fine del primo periodo, non il periodo corrente (C0).
Sia r che g dovrebbero essere espressi come decimali (es. 5% come 0,05).
Il modello assume crescita costante e vita infinita, che sono supposizioni forti; usare con cautela e considerare altri metodi di valutazione.

Avoid these traps

Common Mistakes

Usare C0 invece di C1 per il flusso di cassa iniziale.
Applicare la formula quando r è inferiore o uguale a g.
Non convertire le percentuali in decimali per r e g prima del calcolo.

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Common questions

Frequently Asked Questions

Deriva la formula per il valore attuale di un flusso infinito di flussi di cassa che crescono a un tasso costante.

Applicare questa formula quando si valuta un'attività che si prevede genererà flussi di cassa indefinitamente e si prevede che questi flussi di cassa crescano a un tasso costante e stabile. È fondamentale che il tasso di sconto (r) sia maggiore del tasso di crescita (g) affinché la formula produca un valore attuale significativo e finito. Questo modello è comunemente utilizzato nella valutazione di azioni, in particolare per aziende mature con crescita prevedibile.

Questa equazione è vitale per investitori e analisti finanziari in quanto fornisce un quadro teorico per determinare il valore intrinseco delle attività che generano reddito. Aiuta a prendere decisioni di investimento, valutare l'equità dei prezzi delle attività e comprendere l'impatto dei tassi di crescita e dei tassi di sconto sulla valutazione. La sua applicazione si estende alla finanza aziendale per la pianificazione del capitale e la pianificazione strategica.

Usare C0 invece di C1 per il flusso di cassa iniziale. Applicare la formula quando r è inferiore o uguale a g. Non convertire le percentuali in decimali per r e g prima del calcolo.

Nel contesto di Valutare un'azione che paga dividendi con una politica di dividendi stabile e in crescita, Valore Attuale di una Perpetuità con Crescita serve a trasformare le misure in un valore interpretabile. Il risultato è importante perché aiuta a confrontare incentivi, effetti delle politiche, risultati di mercato o decisioni finanziarie.

Assicurati che r > g; altrimenti, la formula produce un valore infinito o negativo, indicando che il modello non è applicabile. C1 rappresenta il flusso di cassa alla fine del primo periodo, non il periodo corrente (C0). Sia r che g dovrebbero essere espressi come decimali (es. 5% come 0,05). Il modello assume crescita costante e vita infinita, che sono supposizioni forti; usare con cautela e considerare altri metodi di valutazione.

References

Sources

Brealey, R. A., Myers, S. C., & Allen, F. (2020). Principles of Corporate Finance (13th ed.). McGraw-Hill Education.
Wikipedia: Gordon growth model
Principles of Corporate Finance by Brealey, Myers, Allen
Investments by Bodie, Kane, Marcus
Gordon growth model (Wikipedia article)
Bodie, Zvi, Alex Kane, and Alan J. Marcus. Investments. McGraw-Hill Education.
Brealey, Richard A., Stewart C. Myers, and Franklin Allen. Principles of Corporate Finance. McGraw-Hill Education.
Ross, Stephen A., Randolph W. Westerfield, and Jeffrey Jaffe. Corporate Finance. McGraw-Hill Education.

Overview

Variables

Derivation

Definizione del Valore Attuale come Somma di Flussi di Cassa Scontati:

Fattorizzazione e Riconoscimento come Serie Geometrica:

Applicazione della Formula della Somma di una Serie Geometrica Infinita:

Semplificazione dell'Espressione:

Formula Finale:

Rearrangements

Graph

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

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Common Mistakes

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