ケイリー・ハミルトンの定理

Core idea

Overview

ケイリー・ハミルトンの定理について、主要な入力値と式の関係を整理し、計算結果の意味を解釈するための説明です。条件、単位、前提を確認しながら使うことで、結果を比較、判断、見積もり、リスク確認に結びつけやすくなります。必要に応じて値を変え、結果の変化も確認してください。

When to use: ケイリー・ハミルトンの定理は、与えられた値から必要な結果を求めたいときに使います。入力の単位、範囲、前提条件を確認してから代入し、計算結果を現実の条件や問題文の目的と照らし合わせてください。

Why it matters: ケイリー・ハミルトンの定理の結果は、数値を比較し、傾向、制約、リスク、設計上の判断を説明するために役立ちます。答えを単独の数値として扱わず、条件が変わったときの意味や妥当性も確認できます。

Walkthrough

Derivation

ケイリー・ハミルトンの定理の導出・理解

ケイリー・ハミルトンの定理は、すべての正方行列が自身の特性多項式を満たすことを述べています。つまり、行列をその特性多項式に代入すると、結果は零行列になります。

行列 $A$ は次元 $n \times n$ の正方行列です。
スカラー体は $C$ (複素数)または $R$ (実数)です。

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特性多項式と余因子行列の関係の定義:

まず、 $n \times n$ 行列 $A$ に対する特性多項式 $p (λ)$ を定義します。次に、行列、その余因子行列、およびその行列式に関する基本性質を思い出し、それを行列 $(A - λ I)$ に適用します。

Let A be an n \times n matrix. The characteristic polynomial is p (λ) = det (A - λ I) = c_{n} λ^{n} + c_{n - 1} λ^{n - 1} + \dots + c_{1} λ + c_{0} . We know that for any matrix M, M \cdot adj (M) = det (M) I . Applying this to (A - λ I) : (A - λ I) adj (A - λ I) = det (A - λ I) I = p (λ) I .

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余因子行列を多項式行列として表現する:

余因子行列の要素は $(A - λ I)$ の部分行列の行列式であるため、それらは高々 $n - 1$ 次の $λ$ の多項式です。これにより、余因子行列を、係数が定数行列である $λ$ の多項式として表現できます。

The entries of adj (A - λ I) are cofactors of (A - λ I), which are polynomials in λ of degree at most n - 1. Thus, we can write adj (A - λ I) = B_{n - 1} λ^{n - 1} + B_{n - 2} λ^{n - 2} + \dots + B_{1} λ + B_{0}, where B_{k} are n \times n matrices with constant entries.

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係数の比較と定理の導出:

恒等式に $p (λ)$ と $adj (A - λ I)$ の多項式表現を代入することにより、 $λ$ のべき乗の係数を比較できます。得られた行列方程式に適切な $A$ のべき乗を掛けて合計すると、左辺が畳み込み和になり、零行列に打ち消されるため、 $p (A)$ が零行列に等しいことが証明されます。

Substitute the polynomial forms into the identity from Step 1: (A - λ I) (B_{n - 1} λ^{n - 1} + \dots + B_{0}) = (c_{n} λ^{n} + \dots + c_{0}) I . Expanding the left side and equating coefficients of powers of λ on both sides: - I B_{n - 1} n A B_{n - 1} - I B_{n - 2} n A B_{1} - I B_{0} n A B_{0} = = = = c_{n} I c_{n - 1} I ⋮ c_{1} I c_{0} I ⋮ Multiply each equation by A^{n}, A^{n - 1}, \dots, A^{1}, A^{0} respectively, from the left: - A^{n} B_{n - 1} n A^{n} B_{n - 1} - A^{n - 1} B_{n - 2} n A^{2} B_{1} - A B_{0} n A B_{0} = = = = c_{n} A^{n} c_{n - 1} A^{n - 1} ⋮ c_{1} A c_{0} I ⋮ Summing these equations yields the zero matrix on the left side due to telescoping cancellation: 0 = c_{n} A^{n} + c_{n - 1} A^{n - 1} + \dots + c_{1} A + c_{0} I . This is precisely p (A) = 0.

Result

Substitute the polynomial forms into the identity from Step 1: (A - λ I) (B_{n - 1} λ^{n - 1} + \dots + B_{0}) = (c_{n} λ^{n} + \dots + c_{0}) I . Expanding the left side and equating coefficients of powers of λ on both sides: - I B_{n - 1} n A B_{n - 1} - I B_{n - 2} n A B_{1} - I B_{0} n A B_{0} = = = = c_{n} I c_{n - 1} I ⋮ c_{1} I c_{0} I ⋮ Multiply each equation by A^{n}, A^{n - 1}, \dots, A^{1}, A^{0} respectively, from the left: - A^{n} B_{n - 1} n A^{n} B_{n - 1} - A^{n - 1} B_{n - 2} n A^{2} B_{1} - A B_{0} n A B_{0} = = = = c_{n} A^{n} c_{n - 1} A^{n - 1} ⋮ c_{1} A c_{0} I ⋮ Summing these equations yields the zero matrix on the left side due to telescoping cancellation: 0 = c_{n} A^{n} + c_{n - 1} A^{n - 1} + \dots + c_{1} A + c_{0} I . This is precisely p (A) = 0.

Source: Introduction to Linear Algebra by Gilbert Strang

Why it behaves this way

Intuition

正方行列をベクトルを変換するための一連の指示として想像してください。ケイリー・ハミルトンの定理は、これらの指示の特定の多項式列(行列自身の特性多項式から導出される)を適用すると、正味の変換がゼロ変換になることを述べています。

A

代数的性質が説明されている正方行列。

線形変換またはシステムの作用素を表します。

P(A)

変数にAを代入して評価された行列Aの特性多項式。

この操作は、Aのべき乗とスカラー倍を組み合わせ、Aに固有の基本的な代数恒等式を示します。

a_{n}, \dots, a_{0}

行列Aの特定の特性多項式を定義するスカラー係数。

これらのスカラーは、行列Aが満たす一意の多項式方程式を決定します。

I

行列代数において乗法単位元として機能する単位行列。

特性多項式の定数項

a_{0}

が方程式内で行列として正しく表現されることを保証します。

0

行列代数において加法単位元として機能する零行列。

多項式表現を A で評価すると、零変換または正味の効果がないことを示します。

Free study cues

Insight

Canonical usage

この数学的定理は、正方行列に対する代数的恒等式を記述します。行列要素が物理単位を持つ場合、多項式係数は恒等式のすべての項にわたって次元的一貫性を確保するように選ばれる必要があります。

One free problem

Practice Problem

次の条件を使って、ケイリー・ハミルトンの定理を求めてください。必要な値を式に代入し、単位と桁数を確認して答えてください。条件: 2, 2, 11, 5, 22, 3, 0。

Hint: ケイリー・ハミルトンの定理の式に既知の値を代入し、単位、符号、分母と分子の対応を確認しながら計算してください。問題文で与えられた条件を先に整理すると解きやすくなります。

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

ケイリー・ハミルトンの定理は、実務、学習、分析の場面で具体的な値を代入して結果を確認するときに使えます。計算結果を単なる数値として扱うのではなく、条件の比較、判断、見積もり、リスク確認に結びつけて解釈するのに役立ちます。

Study smarter

Tips

まず det(λI - A) = 0 を使って特性多項式を計算してください。
λ を行列 A に、定数項を単位行列 I に置き換えてください。
特性方程式に A⁻¹ を掛けることで、A⁻¹ を A の多項式として表すために使ってください。

Avoid these traps

Common Mistakes

正方行列でない行列に定理を適用すること。
p(A) を評価するときに、定数項に単位行列を掛けるのを忘れること。

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Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

ケイリー・ハミルトンの定理は、すべての正方行列が自身の特性多項式を満たすことを述べています。つまり、行列をその特性多項式に代入すると、結果は零行列になります。

ケイリー・ハミルトンの定理は、与えられた値から必要な結果を求めたいときに使います。入力の単位、範囲、前提条件を確認してから代入し、計算結果を現実の条件や問題文の目的と照らし合わせてください。

ケイリー・ハミルトンの定理の結果は、数値を比較し、傾向、制約、リスク、設計上の判断を説明するために役立ちます。答えを単独の数値として扱わず、条件が変わったときの意味や妥当性も確認できます。

正方行列でない行列に定理を適用すること。 p(A) を評価するときに、定数項に単位行列を掛けるのを忘れること。