ダルシー・ワイスバッハの式

Core idea

Overview

この式は、パイプを流れる流体のエネルギー損失を、平均流速または体積流量、パイプ形状、および摩擦係数に関連付けます。これは、全長にわたるパイプ壁摩擦による主要損失と、継手、バルブ、およびパイプ形状の変化による副次損失を考慮します。適切な摩擦係数が決定されれば、この定式化は層流および乱流の両方の流れに適用可能です。

When to use: この式は、円形管路内の十分に発達した流れシステムにおける圧力降下またはエネルギー損失を決定する際に使用します。

Why it matters: これは配管システムの設計の基本的なツールであり、ポンプが抵抗を克服し必要な流量を維持するように正しく選定されることを保証します。

Symbols

Variables

$H_{L 12}$ = $H_{L 12}$

H_{L 12}

H_{L12}

Variable

Walkthrough

Derivation

ダルシー・ワイスバッハ式の導出

ダルシー・ワイスバッハ式は、配管システムの全水頭損失を摩擦損失と局部損失に関連付けます。これは、壁面せん断応力によるエネルギー散逸と、管継手や形状変化によって引き起こされるエネルギー損失を組み合わせて導出されます。

流体は非圧縮性である。
流れは管区間内で十分に発達しています。
管は一定の直径 D を持つ円形です。
局部損失は加算的であり、速度水頭に比例します。

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基本ダルシー・ワイスバッハ形式

これは、長さL、直径Dの管路における摩擦水頭損失（ $H_{f}$ ）の経験的基礎であり、fはダルシー摩擦係数、vは平均流速である。

H_{f} = f \frac{L}{D} \frac{v ^{2}}{2 g}

Note: 摩擦係数fは無次元であり、レイノルズ数と管の粗さに依存する。

2

局部損失の組み込み

全水頭損失（ $H_{L 12}$ ）は、全長にわたる摩擦損失と、損失係数 $e_{v 、 i}$ に速度水頭を乗じたもので表される局部損失（ $H_{min or}$ ）の和である。

H_{L 12} = H_{f} + \sum H_{min or} = f \frac{( \sum L _{i} )}{D} \frac{v ^{2}}{2 g} + \sum (e_{v, i} \frac{v ^{2}}{2 g})

Note: 局部損失は、バルブ、曲がり、および断面変化におけるエネルギー消散を説明する。

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速度水頭の因数分解

速度水頭の項をくくり出すことにより、摩擦損失成分と局部損失成分をグループ化する。この式は、要求された式の構造に合うように再配置される。

H_{L 12} = \frac{v ^{2}}{2 g} [\frac{( \sum L _{i} ) f}{D} + \sum e_{v, i}] = \frac{v ^{2}}{D 2 g} [(\sum L_{i}) f + \frac{D}{4} (4 \sum e_{v, i})]

Note: 単位が一貫していることを確認する。vは平均流速⟨v⟩である。

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体積流量への変換

連続の式v = Q/Aを代入することで、水頭損失を平均流速ではなく体積流量Qで表現できる。

v = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{π D ^{2} /4} = \frac{4 Q}{π D ^{2}} ⟹ v^{2} = \frac{16 Q ^{2}}{π ^{2} D ^{4}}

Note: これは、流速よりも流量が既知の場合に有用である。

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最終代入

$v^{2}$ の式を速度基準の式に代入すると、流量基準の式が得られる。

H_{L 12} = \frac{2 ( 16 Q ^{2} / π ^{2} D ^{4} )}{D g} [...] = \frac{32 Q ^{2}}{π ^{2} D ^{5} g} [...]

Note: The $D^{5}$ term in the denominator highlights the high sensitivity of head loss to pipe diameter.

Result

H_{L 12} = \frac{2 ( 16 Q ^{2} / π ^{2} D ^{4} )}{D g} [...] = \frac{32 Q ^{2}}{π ^{2} D ^{5} g} [...]

Why it behaves this way

Intuition

流体がトンネル内を移動する様子を想像してください。移動するにつれて、壁面との摩擦（摩擦主要損失）や、バルブや曲がりなどの障害物への衝突（局部損失）が生じます。水頭損失は、この抵抗を克服するために流体がその位置エネルギーから「失う」垂直高さを表します。幾何学的には、この式はすべての管長とすべての継手抵抗を合計し、それらを流れの運動エネルギーと管の狭さでスケーリングします。

H_{L 12}

点1と点2の間の全水頭損失

摩擦と乱流により失われる流体の相当高さ。実質的には、流体を管路内で移動させるために支払われる「エネルギー税」である。

f

ダルシー摩擦係数

流れの慣性に対する管壁の「粗さ」と抵抗を表す無次元係数。

L_{i}

管セグメントの長さ

流体が管壁と接触して移動する総距離；経路が長いほど、より多くのエネルギーが失われる。

e_{v, i}

局部損失係数 (K)

流体の滑らかな流れを妨げる各バルブ、エルボ、または接合部に対する「ペナルティ」値。

D

管内径

「トンネル」の大きさ；小さな管は流体をより速く移動させ、壁に近づけるため、抵抗が急激に増加する。

Q

体積流量

毎秒送り出される流体の体積；水頭損失はQの二乗に比例するため、流量を2倍にすると必要なエネルギーは4倍になる。

g

重力加速度

エネルギー損失を「水頭」または垂直高さ相当に変換する定数。

Signs and relationships

f * sum(L_i): 摩擦は常に運動に逆らい、移動距離に比例して蓄積されるため、正の値となる。
D/4 * sum(e_{v, i}): 継手はエネルギー散逸の追加ポイントを提供し、実質的に「追加の」管長として機能するため、長さ項に加えられる。
1/D^5: 管のサイズに対する極端な感度を示す；管が小さくなる（分母が小さくなる）と、流体がより小さな領域に制限されて高速になるため、水頭損失が爆発的に増加する。

One free problem

Practice Problem

水平パイプシステムにおいて、体積流量を一定に保ちながらパイプ直径を 2 倍にした場合、摩擦係数が一定であると仮定すると、摩擦による損失水頭はどのように変化しますか？

Hint: 損失水頭式の直径 D への依存性を、 $Q^{2}$ / $D^{5}$ を含む項で調べてください。

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

ダルシー・ワイスバッハの式は、実務、学習、分析の場面で具体的な値を代入して結果を確認するときに使えます。計算結果を単なる数値として扱うのではなく、条件の比較、判断、見積もり、リスク確認に結びつけて解釈するのに役立ちます。

Study smarter

Tips

使用する摩擦係数が流れの Reynolds 数と整合していることを確認してください。
すべての副損失係数が同じ速度水頭に基づいて定義されていることを確認してください。
計算全体で、長さ、直径、重力の単位が一貫していることを確認してください。

Avoid these traps

Common Mistakes

Darcy 摩擦係数と、それより4倍小さい Fanning 摩擦係数を混同すること。
乱流における摩擦係数のレイノルズ数による変動を考慮しないこと。

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions